الرياضيات الجامعية — الاحتمالات والإحصاء: نظرية الاحتمالات

الرياضيات الجامعية — الاحتمالات والإحصاء: نظرية الاحتمالات

نظرية الاحتمالات هي فرع من الرياضيات يهتم بدراسة الظواهر العشوائية والأحداث غير المؤكدة. تُستخدم الاحتمالات في مجالات متعددة مثل الإحصاء والاقتصاد والفيزياء وعلوم الحاسوب والذكاء الاصطناعي.

المفاهيم الأساسية

التجربة العشوائية: هي تجربة يمكن تكرارها تحت نفس الظروف ولكن نتيجتها غير مؤكدة. فضاء العينة (Ω): مجموعة جميع النتائج الممكنة. الحدث (Event): مجموعة جزئية من فضاء العينة.

بديهيات الاحتمال (Kolmogorov)

1. لأي حدث A: 0 ≤ P(A) ≤ 1
2. P(Ω) = 1 (احتمال الحدث الأكيد)
3. إذا كانت الأحداث A₁, A₂, … متنافية، فإن P(∪Aᵢ) = ΣP(Aᵢ)

الاحتمال الشرطي وقاعدة بايز

الاحتمال الشرطي P(A|B) هو احتمال وقوع A بشرط وقوع B. القانون: P(A|B) = P(A∩B)/P(B). قاعدة بايز: P(A|B) = P(B|A)·P(A)/P(B) وهي أساس التعلم الآلي والاستدلال الإحصائي.

المتغيرات العشوائية

هي دالة X: Ω → ℝ تعين لكل نتيجة عدداً حقيقياً. المتغير العشوائي المنفصل يأخذ قيماً معدودة، بينما المتغير المستمر يأخذ قيماً في فترة متصلة. دالة التوزيع التراكمي F(x) = P(X ≤ x).

التوزيعات الاحتمالية الهامة

• التوزيع المنتظم (Uniform)
• التوزيع الطبيعي (Gaussian/Normal)
• توزيع برنولي وثنائي الحد (Binomial)
• توزيع بواسون (Poisson)
• التوزيع الأسي (Exponential)

اطلعوا أيضاً على درس النهايات والاتصال و درس المعادلات التفاضلية.

دروس مشابهة

• مجموعة من الالغاز المسلية في الرياضيات
• الرياضيات — قياس الطول (المتر وأجزاؤه) — السنة الثالثة ابتدائي — المنهاج الجزائر
• الرياضيات — النسبة المئوية وتطبيقاتها في الحياة — السنة الخامسة إبتدائي — المنها