الرياضيات — المتتاليات: تعريفها وأنواعها — الرابعة متوسط — المنهاج الجزائري

الرياضيات — المتتاليات: تعريفها وأنواعها — الرابعة متوسط — المنهاج الجزائري

في هذا الدرس نقدم شرحا مفصلا وتمارين تطبيقية حول موضوع “المتتاليات” لتلاميذ الرابعة متوسط. المتتالية هي مجموعة من الأعداد المرتبة وفق قاعدة معينة. نجد المتتاليات في حياتنا اليومية في نمو البكتيريا وفوائد البنوك والعديد من الظواهر الطبيعية.

أهداف الدرس

• التعرف على مفهوم المتتالية العددية.
• التمييز بين المتتالية الحسابية والمتتالية الهندسية.
• حساب الحد العام للمتتالية.
• تطبيق المتتاليات في مسائل حياتية.

المحتوى العلمي

تعريف المتتالية: المتتالية العددية (u_n) هي دالة معرفة على مجموعة الأعداد الطبيعية، حيث n هو ترتيب الحد.

المتتالية الحسابية: هي متتالية يكون فيها الفرق بين كل حدين متتاليين ثابتا. هذا الفرق يسمى الأساس r. الصيغة: u_n = u₀ + n×r حيث r هو الأساس.

المتتالية الهندسية: هي متتالية يكون فيها خارج قسمة كل حد على سابقه ثابتا. هذا الثابت يسمى الأساس q. الصيغة: u_n = u₀ × qⁿ.

مثال 1: متتالية حسابية حدها الأول u₀ = 3 وأساسها r = 2. احسب u₁، u₂، u₅. الحل: u₁ = 3+2=5، u₂ = 3+4=7، u₅ = 3+10=13.

مثال 2: متتالية هندسية حدها الأول u₀ = 2 وأساسها q = 3. احسب u₁، u₂، u₄. الحل: u₁ = 2×3=6، u₂ = 2×9=18، u₄ = 2×81=162.

التمارين التطبيقية

التمرين 1: متتالية حسابية حدها الأول u₀ = 5 وأساسها r = -3. احسب u₁، u₂، u₄.

التمرين 2: متتالية هندسية حدها الأول u₀ = 1 وأساسها q = 2. احسب u₁ إلى u₅ ثم احسب مجموع هذه الحدود الخمسة.

التمرين 3: وضع أب مبلغ 1000 دينار في بنك كل سنة بفائدة 5% سنويا. اكتب متتالية تمثل المبلغ في نهاية كل سنة.

الإجابات النموذجية

حل 1: u₁ = 2، u₂ = -1، u₄ = 5+4×(-3) = 5-12 = -7.

حل 2: u₀=1، u₁=2، u₂=4، u₃=8، u₄=16، u₅=32. المجموع = 1+2+4+8+16+32 = 63.

حل 3: u₀ = 1000، u₁ = 1000×1.05 = 1050، u₂ = 1000×1.05² = 1102.5، … وهي متتالية هندسية أساسها q=1.05.

خلاصة الدرس

المتتالية الحسابية تتبع قاعدة الجمع الثابت، والمتتالية الهندسية تتبع قاعدة الضرب الثابت. المتتاليات تستخدم في الفوائد البنكية والنمو السكاني والعديد من التطبيقات العملية.

دروس مشابهة

• جملة معادلتين من الدرجة الأولى
• المتجهات في المستوى