الفيزياء — التيار المتناوب الجيبي: التمثيل العقودي — الثالثة ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

مقدمة حول التيار المتناوب الجيبي: التمثيل العقودي

في هذا الدرس المخصص لتلاميذ السنة الثالثة ثانوي (شعب علمية)، نقدم لكم شرحاً مفصلاً وشاملاً لـ التمثيل العقودي للتيار المتناوب الجيبي وفق المنهاج الجزائري للبكالوريا. سنتناول جميع الجوانب النظرية والتطبيقية مع أمثلة محلولة وتمارين مستوحاة من امتحانات البكالوريا السابقة. الأعداد المركبة (العقدية) هي أداة رياضية قوية لتحليل الدارات الكهربائية في التيار المتناوب، حيث تسمح بتمثيل الكميات المتناوبة (التوتر والتيار والممانعة) بشكل بسيط ومنهجي. هذا الدرس مهم جداً لاجتياز امتحان البكالوريا في مادة الفيزياء.

أولاً: المفاهيم الأساسية

التيار المتناوب الجيبي هو تيار يتغير مقداره واتجاهه دورياً وفق دالة جيبية: i(t) = I_m×sin(ωt+φ_i) و u(t) = U_m×sin(ωt+φ_u). التمثيل العقودي (باستخدام الأعداد المركبة) يحول المعادلات التفاضلية إلى معادلات جبرية بسيطة. الكميات المتناوبة تمثل بأعداد مركبة: U̲ = U×e^(jφ_u) و I̲ = I×e^(jφ_i) حيث U و I هما القيمتان الفعالتان RMS. الممانعة العقدية Z̲ لكل عنصر: المقاومة Z_R = R (عدد حقيقي)، المكثفة Z_C = 1/(jCω) = -j/(Cω)، الوشيعة Z_L = jLω. قانون أوم العقودي: U̲ = Z̲ × I̲. يمكن تمثيل كل ذلك في مخطط فرينيل (Fresnel Diagram).

ثانياً: الشرح التفصيلي

نبدأ بمراجعة الأعداد المركبة: التمثيل الديكارتي (a+jb) والقطبي (r×e^(jθ))، العمليات الحسابية على الأعداد المركبة. ثم نربط ذلك بالكميات الفيزيائية: سعة التوتر U_m والقيمة الفعالة U = U_m/√2، سرعة الزاوية ω = 2πf، فرق الطور Δφ = φ_u – φ_i. نبين كيف تمثل الممانعة العقدية لكل عنصر مدار وكيف نحسب الممانعة المكافئة لدارة RLC على التسلسل. نطبق قانون أوم العقودي لحساب التيار في دارة RLC. يمكنكم مراجعة درس دارة RLC للمزيد.

ثالثاً: القوانين الأساسية

• التمثيل العقودي: U̲ = U×e^(jφ_u) = U(cosφ_u + j×sinφ_u)
• ممانعة المقاومة: Z_R = R
• ممانعة المكثفة: Z_C = 1/(jCω) = -j/(Cω)
• ممانعة الوشيعة: Z_L = jLω
• الممانعة المكافئة للتسلسل: Z_eq = R + j(Lω – 1/(Cω))
• قانون أوم العقودي: U̲ = Z̲ × I̲
• فرق الطور: tan(Δφ) = (Lω – 1/(Cω))/R
• الرنين: عندما Lω = 1/(Cω) أي ω₀ = 1/√(LC)

رابعاً: أمثلة بكالوريا

• مثال 1: دارة RLC متوالية: R=100Ω, L=0.2H, C=10μF, U=220V, f=50Hz. احسب الممانعة العقدية والتيار العقدي وفرق الطور.
• مثال 2: دارة تحتوي على مقاومة ومكثفة على التسلسل. u(t)=100√2×sin(314t)، R=50Ω، C=50μF. أوجد i(t) باستخدام التمثيل العقودي.
• مثال 3: في دارة RLC، عند أي تردد يحدث الرنين؟ احسب تردد الرنين إذا كان L=0.1H و C=100μF.

خامساً: تمارين

1. حول الكميات التالية من التمثيل الزمني إلى العقودي: u=311×sin(314t+30°)، i=5×sin(314t-20°).
2. دارة RL متوالية: R=50Ω, L=0.1H, U=100V, f=60Hz. احسب Z̲ و I̲ وفرق الطور.
3. دارة RC متوالية: R=100Ω, C=20μF. احسب الممانعة والتيار عند f=100Hz إذا كان U=50V.
4. برهن أن تردد الرنين f₀ = 1/(2π√(LC)).
5. مسألة بكالوريا: دارة RLC متوالية مع تغيير التردد.

نصائح للبكالوريا

• اتقن التعامل مع الأعداد المركبة (التحويل بين الديكارتي والقطبي).
• احفظ أن مفاعلة المكثفة X_C = 1/(Cω) ومفاعلة الوشيعة X_L = Lω.
• تذكر أن الممانعة Z = √(R² + (X_L – X_C)²) لدارة RLC متوالية.
• في الرنين: X_L = X_C (أصغر ممانعة وأكبر تيار).
• ارسم مخطط فرينيل لتحديد فرق الطور بصرياً.

الخلاصة

التمثيل العقودي للتيار المتناوب أداة قوية تسهل تحليل الدارات الكهربائية المعقدة. إتقان هذا الموضوع ضروري لاجتياز امتحان البكالوريا بنجاح. نتمنى لكم التوفيق.

الفيزياء — التيار المتناوب الجيبي: التمثيل العقودي — الثالثة ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا.

? دروس مشابهة

• الفيزياء — دارة RLC المتوالية — الثالثة ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا
• الفيزياء — قانون أوم في دارة التيار المتناوب — الثالثة ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا