الرياضيات — الهندسة التحليلية: المعادلات المخروطية — الثانية ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

الهندسة التحليلية تدرس الأشكال الهندسية باستخدام الإحداثيات والمعادلات. الدائرة والقطع المكافئ والقطع الناقص هي منحنيات مخروطية مهمة.

1. معادلة دائرة

الدائرة التي مركزها C(a, b) ونصف قطرها R تكتب: (x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2.

الصيغة العامة: x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 حيث D = -2a, E = -2b, F = a^2 + b^2 – R^2.

2. معادلة قطع مكافئ

القطع المكافئ هو مجموعة النقط M(x, y) التي تحقق: y = ax^2 + bx + c (محور رأسي) أو x = ay^2 + by + c (محور أفقي).

رأس القطع المكافئ: S(-b/2a, -delta/4a).

3. معادلة قطع ناقص

القطع الناقص مركزه المبدأ: x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1. إذا a > b، البعد البؤري c يحقق c^2 = a^2 – b^2.

4. الدائرة في الفضاء

معادلة كرة مركزها C(a, b, c) ونصف قطرها R: (x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2.

5. مثال بكالوريا

بكالوريا 2021 (شعبة علوم تجريبية): عين مركز ونصف قطر الدائرة: x^2 + y^2 – 4x + 6y – 3 = 0.

الحل: نكتب المعادلة على الشكل (x-2)^2 + (y+3)^2 = 16. إذن المركز C(2, -3) ونصف القطر R = 4.

b+6y: x^2 – 4x + y^2 + 6y = 3. (x^2 – 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) = 3 + 4 + 9 = 16. (x-2)^2 + (y+3)^2 = 16. إذن المركز C(2, -3) ونصف القطر R = 4.