الرياضيات — الاشتقاقية: التعريف والقواعد — الثانية ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

الاشتقاق هو مفهوم أساسي في التحليل الرياضي يسمح بدراسة تغيرات الدوال. المشتق يمثل ميل المماس لمنحنى الدالة في نقطة معينة.

1. تعريف المشتق

نقول أن f قابلة للاشتقاق في a إذا كانت النهاية lim_{h→0} (f(a+h) – f(a))/h موجودة ومنتهية. هذه النهاية تسمى العدد المشتق f'(a). يمثل f'(a) معامل توجيه المماس للمنحنى (C_f) في النقطة A(a, f(a)).

2. معادلة المماس

معادلة المماس للمنحنى (C_f) في النقطة A(a, f(a)) هي: y = f'(a)(x – a) + f(a).

3. قواعد الاشتقاق

مشتق دالة ثابتة: (c)’ = 0.

مشتق xⁿ: (xⁿ)’ = n·x^{n-1}.

مشتق مجموع: (u + v)’ = u’ + v’.

مشتق جداء: (u·v)’ = u’·v + u·v’.

مشتق خارج: (u/v)’ = (u’·v – u·v’)/v².

مشتق دالة مركبة: (f(g(x)))’ = g'(x)·f'(g(x)).

4. تطبيقات المشتق

• دراسة رتابة دالة: f متزايدة على interval I إذا f'(x) ≥ 0 على I، ومتناقصة إذا f'(x) ≤ 0.
• إيجاد النقاط الحرجة: النقاط حيث f'(x) = 0 (نقاط قصوى محتملة).
• نقاط الانعطاف: حيث f”(x) = 0 (تغير في تحدب المنحنى).

5. مثال بكالوريا

بكالوريا 2020 (شعبة علوم تجريبية): لتكن f(x) = x³ – 3x² + 1.
(1) احسب f'(x).
(2) ادرس إشارة f'(x) واستنتج رتابة f.
(3) اكتب معادلة المماس عند x = 1.
الحل:
(1) f'(x) = 3x² – 6x = 3x(x – 2).
(2) إشارة f'(x): موجب على ]-∞, 0[ و ]2, +∞[، سالب على ]0, 2[. إذن f متزايدة على ]-∞, 0] و [2, +∞[، ومتناقصة على [0, 2].
(3) f(1) = -1, f'(1) = -3. معادلة المماس: y = -3(x – 1) – 1 = -3x + 2.