الرياضيات — المتتاليات: البرهان بالترجع — الثالثة ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

البرهان بالترجع (Recurrence) أسلوب برهان أساسي في دراسة المتتاليات. نقدم الطريقة مع تمارين بكالوريا.

مبدأ البرهان بالترجع

لإثبات أن خاصية P(n) صحيحة لكل n >= n0 نتبع: 1- خطوة الأساس: نثبت P(n0) صحيحة. 2- فرضية الترجع: نفترض P(k) صحيحة (k >= n0). 3- خطوة الترجع: نبرهن أن P(k) تؤدي إلى P(k+1). 4- الخلاصة: P(n) صحيحة لكل n >= n0.

تطبيقات على المتتاليات

تستخدم في إثبات رتابة متتالية، تقارب متتالية، صيغ الحد العام، ومتراجحات متعلقة بالمتتاليات.

تمارين بكالوريا

تمرين 1:

برهن بالترجع أن: 1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1)/2

الحل: n=1: 1 = 1(2)/2 صحيح. نفرض صحة لـ k: 1+…+k = k(k+1)/2, نثبت لـ k+1: 1+…+k+(k+1) = k(k+1)/2 + (k+1) = (k+1)(k/2+1) = (k+1)(k+2)/2 صحيح.

تمرين 2:

برهن أن u_n = 2^n – 1 تحقق u_{n+1} = 2u_n + 1

الحل: 2u_n + 1 = 2(2^n – 1) + 1 = 2^{n+1} – 2 + 1 = 2^{n+1} – 1 = u_{n+1}

للمزيد: المتتاليات العددية و المتتاليات الحسابية والهندسية.

📍 دروس مشابهة

• الرياضيات — الأعداد من 100 إلى 999 (قراءة وكتابة وتحليل الأعداد) — السنة الثانية
• الإزاحة (الانسحاب) في المستوى — تمارين وتطبيقات — الرياضيات — السنة الثالثة متوس
• المثلثات — حالات تقايس المثلثات — الرياضيات — السنة الثانية متوسط — المنهاج الجز