المعادلات التفاضلية من الدرجة الثانية – السنة الثالثة ثانوي (شعب علمية) – الرياضيات – المنهاج الجزائري

مقدمة

في هذا الدرس من دروس الثانوي (شعب علمية)، نتناول موضوع “المعادلات التفاضلية من الدرجة الثانية – السنة الثالثة ثانوي (شعب علمية) – الرياضيات – المنهاج الجزائري” وفق المنهاج الجزائري للتعليم الثانوي. هذا الدرس موجه لتلاميذ الشعب العلمية (علوم تجريبية، رياضيات، تقني رياضي) الذين يستعدون لاجتياز امتحان شهادة البكالوريا.

المعادلات التفاضلية الخطية من الدرجة الثانية

المعادلة التفاضلية الخطية من الدرجة الثانية ذات المعاملات الثابتة تكتب: ay” + by’ + cy = 0 (متجانسة) أو ay” + by’ + cy = f(x) (غير متجانسة). المعادلة المميزة: ar² + br + c = 0. إذا كان المميز Δ > 0، الحل العام هو y = C1 e^(r1 x) + C2 e^(r2 x). إذا كان Δ = 0، y = (C1 + C2x) e^(r x). إذا كان Δ < 0، y = e^(αx)(C1 cos(βx) + C2 sin(βx)).

حل المعادلات غير المتجانسة

لحل ay” + by’ + cy = f(x)، نوجد أولاً الحل العام للمعادلة المتجانسة yh، ثم نبحث عن حل خاص yp يحدد حسب شكل f(x). إذا كانت f(x) كثيرة حدود، نبحث عن yp كثيرة حدود. إذا كانت f(x) = ke^(mx)، نبحث عن yp = Ae^(mx). إذا كانت f(x) مثلثية، نبحث عن حل مثلثي.

تطبيقات فيزيائية

تستخدم المعادلات التفاضلية من الدرجة الثانية في وصف الحركة التوافقية البسيطة (النابض)، والدوائر الكهربائية RLC، والحركة الموجية. مثلاً: معادلة النابض هي m d²x/dt² + kx = 0، ومعادلة الدارة RLC هي L d²q/dt² + R dq/dt + q/C = E(t).

أمثلة من امتحانات البكالوريا

مثال 1: بكالوريا 2024: حل المعادلة التفاضلية y” + 4y = 0 ثم أوجد الحل الخاص الذي يحقق y(0) = 2 و y'(0) = 0.

مثال 2: بكالوريا 2023: حل المعادلة y” – 3y’ + 2y = 0 ثم استنتج حل y” – 3y’ + 2y = e^x.

مثال 3: بكالوريا 2022: نابض مرن يخضع للمعادلة x”(t) + 9x(t) = 0. إذا كان x(0) = 1 و x'(0) = 3، فأوجد x(t).

خلاصة

نخلص مما سبق أن إتقان هذا الدرس يتطلب فهماً عميقاً للمفاهيم الأساسية وحل تمارين متنوعة. ننصح التلاميذ بمراجعة تمارين البكالوريا السابقة والتدرب على حل المسائل بأنفسهم. يمكنكم تحميل تمارين إضافية ومواضيع بكالوريا مع الحلول من موقعنا dz-onec.com.

📍 دروس مشابهة

• الرياضيات — فيثاغورس — السنة الأولى متوسط
• جمل المعادلات الخطية — الطرق المختلفة للحل — السنة الثانية ثانوي (شعب علمية) — ا
• الرياضيات — التمثيل بالصور (قراءة جدول الصور وتمثيل البيانات) — السنة الأولى إبت