مدونة التربية و التعليم في الجزائر – دروس، فروض، نتائج امتحانات مدونة التربية والتعليم في الجزائر | تحضير الدروس، فروض واختبارات، نتائج البكالوريا وBEM، مسابقات التوظيف، والتوجيه المدرسي للطلاب وأولياء الأمور.
المعادلات التفاضلية — من الدرجة الأولى — السنة الثالثة ثانوي (بكالوريا) — شعبة علوم تجريبية — الرياضيات — المنهاج الجزائري
المعادلات التفاضلية هي معادلات تربط بين دالة ومشتقاتها. لها تطبيقات واسعة في الفيزياء والكيمياء والبيولوجيا والاقتصاد. هذا الدرس ضمن مقرر الرياضيات للسنة الثالثة ثانوي شعبة علوم تجريبية.
أولاً: تعريف المعادلة التفاضلية
المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى هي معادلة تشمل الدالة y(x) ومشتقتها الأولى y'(x). أبسط شكل: y’ = a × y + b حيث a و b ثابتان حقيقيان.
ثانياً: حل المعادلة y’ = ay
حل هذه المعادلة هو: y(x) = C × eax حيث C ثابت حقيقي يُحدد بالشرط البدئي.
مثال: حل y’ = 3y مع y(0) = 5
الحل العام: y(x) = C × e3x
باستخدام الشرط البدئي: y(0) = C × e⁰ = C = 5
إذن: y(x) = 5 × e3x
ثالثاً: حل المعادلة y’ = ay + b
الحل العام: y(x) = C × eax − b/a حيث a ≠ 0
خطوات الحل:
- حل المعادلة المتجانسة: y’h = a × yh ⇒ yh(x) = C × eax
- إيجاد حل خاص: yp = −b/a (ثابت)
- الحل العام: y(x) = yh(x) + yp(x) = C × eax − b/a
رابعاً: تطبيقات فيزيائية
النمو الأسي (التحلل الإشعاعي): N'(t) = −λ × N(t) حيث N(t) عدد النوى المشعة.
الحل: N(t) = N₀ × e−λt
قانون نيوتن للتبريد: T'(t) = −k × (T(t) − Ta) حيث T(t) درجة حرارة الجسم، Ta درجة حرارة الوسط المحيط.
خامساً: مثال بكالوريا
تمرين بكالوريا (دورة 2023 — شعبة علوم تجريبية): نعتبر المعادلة التفاضلية y’ = −2y + 6.
1. حل هذه المعادلة التفاضلية.
2. حدد الحل الذي يحقق y(0) = 8.
3. احسب نهاية هذا الحل عندما يؤول x إلى +∞.
الحل:
1. a = −2، b = 6
yh(x) = C × e−2x (حل المعادلة المتجانسة y’ = −2y)
yp = −b/a = −6/(−2) = 3 (حل خاص)
الحل العام: y(x) = C × e−2x + 3
2. y(0) = C × e⁰ + 3 = C + 3 = 8 ⇒ C = 5
إذن: y(x) = 5 × e−2x + 3
3. limx→+∞ y(x) = limx→+∞ (5 × e−2x + 3) = 5 × 0 + 3 = 3
نلاحظ أن الحل يتجه نحو قيمة التوازن y = 3.
خلاصة
المعادلات التفاضلية أداة رياضية قوية تستخدم لنمذجة الظواهر الطبيعية المتغيرة. إتقان حلها ضروري في الفيزياء والكيمياء والعلوم الحياتية، وهي من المواضيع المهمة في البكالوريا.
دروس مشابهة
-  التوزيع السنوي للسنة الرابعة متوسط في مادة الرياضيات 2015/2026
- الرياضيات — الكسور البسيطة (النصف، الربع، الثلث) — السنة الثالثة إبتدائي
- القاسم المشترك الأكبر (PGCD) والمضاعف المشترك الأصغر (PPCM) — مفهومهما وطرق حساب
