الدوال الأسية — تعريفها وخصائصها ودراستها — السنة الثالثة ثانوي (بكالوريا) — شعبة علوم تجريبية — الرياضيات — المنهاج الجزائري

الدوال الأسية — تعريفها وخصائصها ودراستها — السنة الثالثة ثانوي (بكالوريا) — شعبة علوم تجريبية — الرياضيات — المنهاج الجزائري

تعتبر الدوال الأسية من أهم الدوال في الرياضيات لتطبيقاتها الواسعة في الفيزياء والكيمياء والعلوم الاقتصادية. هذا الدرس موجه لتلاميذ السنة الثالثة ثانوي (شعبة علوم تجريبية) استعداداً لامتحان البكالوريا.

أولاً: الدالة الأسية الأساسية exp(x)

تُعرف الدالة الأسية الأساسية exp(x) بأنها الدالة العكسية للدالة اللوغاريتمية ln(x). أي:

y = exp(x) ⇔ x = ln(y) مع y > 0

نكتب: exp(x) = e^x حيث e ≈ 2.71828 (عدد نيبر).

ثانياً: خصائص الدالة الأسية

خصائص جبرية:

• e⁰ = 1
• e¹ = e
• e^a+b = e^a × e^b
• e^a−b = e^a / e^b
• (e^a)^b = e^a×b

خصائص التحليل:

• الدالة الأسية معرفة على ℝ وقيمها موجبة تماماً (e^x > 0 لكل x ∈ ℝ)
• e^ln(a) = a لكل a > 0
• ln(e^a) = a لكل a ∈ ℝ

ثالثاً: دراسة الدالة f(x) = e^x

مجموعة التعريف: D_f = ℝ

النهايات: lim_x→−∞ e^x = 0، lim_x→+∞ e^x = +∞

الاشتقاق: (e^x)’ = e^x

التغيرات: الدالة الأسية تزايدية قطعاً على ℝ (لأن مشتقتها e^x > 0).

التمثيل البياني: يمر من النقطة (0,1)، والمستقيم y = 0 مقارب أفقي عند −∞.

رابعاً: الدالة الأسية من الشكل f(x) = e^kx

إذا كان k > 0: الدالة تزايدية، وإذا كان k < 0: الدالة تناقصية.

المشتقة: (e^kx)’ = k × e^kx

خامساً: مثال بكالوريا

خلاصة

الدوال الأسية أداة رياضية قوية تستخدم في نمذجة النمو السكاني والتحلل الإشعاعي والفائدة المركبة. إتقان هذا الدرس ضروري للنجاح في امتحان البكالوريا.

دروس مشابهة

• الكسور والأعداد العشرية — الرياضيات — السنة الثانية متوسط
• الرياضيات — المصفوفات — السنة الأولى ثانوي
• القسمة والأعداد العشرية — الرياضيات — السنة الأولى متوسط — المنهاج الجزائري