موضوع امتحان بكالوريا 2024 في الرياضيات مع الحل – شعبة تسيير واقتصاد

📌 التمرين الأول (05 نقاط)

نعتبر الدالة f المعرفة على ℝ بـ:

f(x) = ln(1 + x²)

1. ادرس اتجاه تغير الدالة f.
2. بين أن (C_f) يقبل نقطة انعطاف.
3. احسب ∫₀¹ f(x) dx باستعمال التكامل بالتجزئة.
4. احسب مساحة الحيز المحصور بين المنحنى (C_f) ومحور الفواصل والمستقيمين x = 0 و x = 1.

📌 التمرين الثاني (05 نقاط)

نعتبر الأعداد العقدية:

z₁ = 1 + i√3, z₂ = √3 + i

1. اكتب z₁ و z₂ على الشكل المثلثي.
2. احسب z₁/z₂، ثم استنتج cos(π/12) و sin(π/12).
3. حل في ℂ المعادلة: z² − 2z + 4 = 0.

📌 التمرين الثالث (05 نقاط)

نعتبر المتتالية (u_n) المعرفة بـ:

u₀ = 0, u_n+1 = √(u_n + 6)

1. بين بالتراجع أن 0 ≤ u_n ≤ 3.
2. ادرس رتابة المتتالية (u_n).
3. بين أن (u_n) متقاربة نحو ℓ حيث ℓ = 3.
4. أوجد رتبة أول حد يقترب من ℓ بمسافة أقل من 10⁻⁴.

📌 التمرين الرابع (05 نقاط)

في المستوي المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم، نعتبر النقط:

A(1, 2), B(4, 3), C(3, 0)

1. بين أن المثلث ABC قائم.
2. أوجد معادلة الدائرة المحيطة بالمثلث ABC.
3. أوجد إحداثيات مركز الدائرة.

🔹 حل التمرين الأول

1. اتجاه التغير:
   f′(x) = 2x/(1 + x²)
   إشارة f′(x):
   • على ]−∞, 0[: f′(x) < 0 ⇒ f متناقصة
   • على ]0, +∞[: f′(x) > 0 ⇒ f متزايدة
   f(0) = ln(1) = 0، lim_x→±∞ f(x) = +∞
2. نقطة الانعطاف:
   f″(x) = (2(1 + x²) − 2x·2x)/(1 + x²)² = 2(1 − x²)/(1 + x²)²
   f″(x) = 0 ⇔ x = ±1
   f″ تتغير الإشارة عند x = ±1، إذن النقطتان (1, ln2) و (−1, ln2) هما نقطتا انعطاف.
3. التكامل:
   ∫₀¹ ln(1 + x²) dx = [x ln(1 + x²)]₀¹ − ∫₀¹ 2x²/(1 + x²) dx
   = ln2 − 2∫₀¹ (1 − 1/(1 + x²)) dx
   = ln2 − 2[x − arctan x]₀¹
   = ln2 − 2 + π/2
4. المساحة:
   A = ∫₀¹ f(x) dx = ln2 − 2 + π/2 ≈ 0.438 وحدة مساحة

🔹 حل التمرين الثاني

1. الشكل المثلثي:
   z₁ = 2(cos(π/3) + i sin(π/3))
   z₂ = 2(cos(π/6) + i sin(π/6))
2. الخارج:
   z₁/z₂ = cos(π/6) + i sin(π/6) = √3/2 + i/2
   = (1 + i√3)/(√3 + i) = … = cos(π/6) + i sin(π/6)
   cos(π/12) = (√6 + √2)/4, sin(π/12) = (√6 − √2)/4
3. المعادلة:
   Δ = 4 − 16 = −12 = 12i²
   z = (2 ± i√12)/2 = (2 ± 2i√3)/2 = 1 ± i√3

🔹 حل التمرين الثالث

1. بالتراجع: 0 ≤ u_n ≤ 3 ✔
2. الرتابة: المتتالية متزايدة.
3. التقارب: ℓ = √(ℓ + 6) ⇒ ℓ² = ℓ + 6 ⇒ ℓ² − ℓ − 6 = 0 ⇒ ℓ = 3.

🔹 حل التمرين الرابع

1. AB² = 10, AC² = 8, BC² = 2 ⇒ AB² = AC² + BC² ⇒ المثلث قائم في C.
2. مركز الدائرة: منتصف AB = ((1+4)/2, (2+3)/2) = (2.5, 2.5)
3. المعادلة: (x − 2.5)² + (y − 2.5)² = 2.5