موضوع امتحان بكالوريا 2024 في التاريخ والجغرافيا مع الحل – شعبة تسيير واقتصاد

📌 التمرين الأول (05 نقاط)

نعتبر الدالة f المعرفة على ℝ بـ:

f(x) = x³ − 3x² + 2

1. احسب lim_x→−∞ f(x) و lim_x→+∞ f(x).
2. ادرس اتجاه تغير الدالة f ثم شكل جدول تغيراتها.
3. بين أن المعادلة f(x) = 0 تقبل ثلاثة حلول في ℝ.
4. أكتب معادلة المماس (T) للمنحنى (C_f) عند النقطة ذات الفاصلة x = 1.
5. احسب ∫₀² f(x) dx.

📌 التمرين الثاني (05 نقاط)

نعتبر المتتالية العددية (u_n) المعرفة بـ:

u₀ = 2 و u_n+1 = (u_n + 2) / (u_n + 1)

1. بين بالتراجع أن 1 < u_n < 2 لكل n ∈ ℕ.
2. ادرس رتابة المتتالية (u_n).
3. بين أن المتتالية (u_n) متقاربة ثم أوجد نهايتها.

📌 التمرين الثالث (05 نقاط)

في الفضاء المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم (O; i→, j→, k→)، نعتبر النقط:

A(1, 0, −1), B(2, 1, 0), C(0, −1, 1)

1. بين أن النقط A, B, C تحدد مستوياً.
2. أوجد معادلة ديكارتية للمستوى (ABC).
3. أوجد المسافة بين النقطة D(1, 1, 1) والمستوى (ABC).

📌 التمرين الرابع (05 نقاط)

صندوق يحتوي على 10 كريات: 4 حمراء و 3 خضراء و 3 زرقاء. نسحب عشوائياً ثلاث كريات على التوالي وبإرجاع.

1. ما هو عدد السحوبات الممكنة؟
2. احسب احتمال الحصول على ثلاث كريات من نفس اللون.
3. نعتبر المتغير العشوائي X الذي يساوي عدد الكريات الحمراء المسحوبة. عين قانون احتمال X ثم احسب الأمل الرياضياتي E(X).

🔹 حل التمرين الأول

1. النهايات:
   • lim_x→−∞ f(x) = lim_x→−∞ (x³ − 3x² + 2) = −∞
   • lim_x→+∞ f(x) = lim_x→+∞ (x³ − 3x² + 2) = +∞
2. اتجاه التغير:
   f′(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2)
   إشارة f′(x):
   • على ]−∞, 0[: f′(x) > 0 ⇒ f متزايدة
   • على ]0, 2[: f′(x) < 0 ⇒ f متناقصة
   • على ]2, +∞[: f′(x) > 0 ⇒ f متزايدة
   f(0) = 2, f(2) = 8 − 12 + 2 = −2
3. المعادلة f(x) = 0:
   f(−1) = −1 − 3 + 2 = −2 < 0, f(0) = 2 > 0 ⇒ حل في ]−1, 0[
   f(1) = 1 − 3 + 2 = 0 ⇒ x = 1 حل
   f(2) = −2 < 0, f(3) = 27 − 27 + 2 = 2 > 0 ⇒ حل في ]2, 3[
   إذن للمعادلة ثلاثة حلول.
4. المماس عند x = 1:
   f(1) = 0, f′(1) = 3 − 6 = −3
   y = −3(x − 1) + 0 = −3x + 3
5. التكامل:
   ∫₀² (x³ − 3x² + 2) dx = [x⁴/4 − x³ + 2x]₀²
   = (4 − 8 + 4) − 0 = 0

🔹 حل التمرين الثاني

1. بالتراجع:
   • u₀ = 2 ⇒ 1 < 2 < 2 ✔
   • نفرض 1 < u_n < 2، نبرهن 1 < u_n+1 < 2:
   u_n+1 = (u_n + 2)/(u_n + 1) = 1 + 1/(u_n + 1)
   1 < u_n < 2 ⇒ 2 < u_n + 1 < 3 ⇒ 1/3 < 1/(u_n + 1) < 1/2
   ⇒ 4/3 < u_n+1 < 3/2 ⇒ 1 < u_n+1 < 2 ✔
2. الرتابة:
   u_n+1 − u_n = (u_n + 2)/(u_n + 1) − u_n = (−u_n² + 2)/(u_n + 1)
   بما أن u_n > 1 فإن −u_n² + 2 < 0
   إذن u_n+1 − u_n < 0، المتتالية متناقصة.
3. التقارب:
   المتتالية محدودة من الأسفل بـ 1 ومتناقصة، إذن متقاربة نحو ℓ ≥ 1.
   ℓ = (ℓ + 2)/(ℓ + 1) ⇒ ℓ(ℓ + 1) = ℓ + 2 ⇒ ℓ² + ℓ − ℓ − 2 = 0 ⇒ ℓ² = 2
   ℓ = √2 (لأن ℓ > 0)

🔹 حل التمرين الثالث

1. تحديد المستوى:
   AB→ = (1, 1, 1), AC→ = (−1, −1, 2)
   AB→ و AC→ غير مرتبطين خطياً، إذن النقط A, B, C تحدد مستوياً.
2. المعادلة الديكارتية:
   n→ = AB→ × AC→ = (1×2 − 1×(−1), 1×(−1) − 1×2, 1×(−1) − 1×(−1))
   n→ = (2 + 1, −1 − 2, −1 + 1) = (3, −3, 0)
   المستوى: 3x − 3y + d = 0، باستعمال A(1, 0, −1): 3 − 0 + d = 0 ⇒ d = −3
   (P): x − y − 1 = 0
3. المسافة:
   d(D, P) = |1 − 1 − 1|/√(1 + 1) = 1/√2 = √2/2

🔹 حل التمرين الرابع

1. عدد السحوبات:
   بالإرجاع: 10³ = 1000
2. ثلاث كريات من نفس اللون:
   P(ثلاث حمراء) = (4/10)³ = 64/1000
   P(ثلاث خضراء) = (3/10)³ = 27/1000
   P(ثلاث زرقاء) = (3/10)³ = 27/1000
   P = (64 + 27 + 27)/1000 = 118/1000 = 0.118
3. قانون احتمال X:
   X ~ B(3, 0.4)
   P(X = 0) = 0.6³ = 0.216
   P(X = 1) = 3 × 0.4 × 0.6² = 0.432
   P(X = 2) = 3 × 0.4² × 0.6 = 0.288
   P(X = 3) = 0.4³ = 0.064
   E(X) = 3 × 0.4 = 1.2