مدونة التربية و التعليم في الجزائر – دروس، فروض، نتائج امتحانات مدونة التربية والتعليم في الجزائر | تحضير الدروس، فروض واختبارات، نتائج البكالوريا وBEM، مسابقات التوظيف، والتوجيه المدرسي للطلاب وأولياء الأمور.
المسافة بين نقطتين في المستوى الإحداثي
أهداف الدرس
- أن يتعرف التلميذ على قانون المسافة بين نقطتين في المستوى الإحداثي.
- أن يكون قادراً على حساب المسافة بين نقطتين باستخدام الإحداثيات.
- أن يوظف القانون في حل مسائل هندسية متنوعة.
تمهيد
في المستوى الإحداثي، نحدد موقع أي نقطة بزوج من الإحداثيات (x, y). فكيف يمكننا حساب المسافة بين نقطتين معلومتين؟ هذا ما سنتعلمه في هذا الدرس باستعمال العلاقة المشتقة من نظرية فيثاغورس.
قانون المسافة بين نقطتين
ليكن لدينا نقطتان A(x₁, y₁) و B(x₂, y₂) في المستوى الإحداثي. المسافة AB تُعطى بالقانون:
AB = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]
اشتقاق القانون
نرسم مثلثاً قائماً حيث AC موازٍ لمحور السينات و BC موازٍ لمحور الصادات:
- AC = |x₂ − x₁|
- BC = |y₂ − y₁|
بتطبيق نظرية فيثاغورس على المثلث ABC القائم في C:
AB² = AC² + BC² = (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²
ومنه: AB = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]
| البيان | المثال 1 | المثال 2 |
|---|---|---|
| النقط | A(1, 2) و B(4, 6) | C(−3, 5) و D(2, −7) |
| فرق السينات | x₂ − x₁ = 4 − 1 = 3 | x₂ − x₁ = 2 − (−3) = 5 |
| فرق الصادات | y₂ − y₁ = 6 − 2 = 4 | y₂ − y₁ = −7 − 5 = −12 |
| المربعات | 3² = 9, 4² = 16 | 5² = 25, (−12)² = 144 |
| المجموع | 9 + 16 = 25 | 25 + 144 = 169 |
| المسافة | AB = √25 = 5 | CD = √169 = 13 |
حالات خاصة
- إذا كانت النقطتان على استقامة أفقية (نفس y): AB = |x₂ − x₁|
- إذا كانت النقطتان على استقامة عمودية (نفس x): AB = |y₂ − y₁|
- إذا تطابقت النقطتان: AB = 0
تمارين محلولة
التمرين 1
أحسب المسافة بين النقطتين E(−2, 3) و F(4, −5).
الحل:
EF = √[(4 − (−2))² + (−5 − 3)²] = √[(6)² + (−8)²] = √(36 + 64) = √100 = 10
التمرين 2
أثبت أن المثلث ABC قائم في A حيث: A(0, 0), B(3, 4), C(−4, 3).
الحل:
AB = √[(3−0)² + (4−0)²] = √(9+16) = √25 = 5
AC = √[(−4−0)² + (3−0)²] = √(16+9) = √25 = 5
BC = √[(−4−3)² + (3−4)²] = √(49+1) = √50
بما أن: AB² + AC² = 25 + 25 = 50 = BC²، فإن المثلث قائم في A حسب نظرية فيثاغورس.
تمارين للتمرن
- أحسب المسافة بين A(5, 1) و B(−3, 7).
- أحسب المسافة بين C(−4, −2) و D(6, 3).
- هل النقط E(1, 1), F(4, 5), G(7, 1) تشكل مثلثاً متساوي الساقين؟
- أوجد إحداثي النقطة M(3, y) حيث المسافة بين M و N(7, 5) تساوي 5.
الخلاصة
قانون المسافة بين نقطتين: AB = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]
هذا القانون مشتق من نظرية فيثاغورس ويُستخدم في الهندسة التحليلية لحساب الأطوال وإثبات خواص الأشكال الهندسية.
دروس مشابهة:
