مضاعفات عدد وقواسمه — تعريف المضاعف والقاسم وطرق إيجادهما مع أمثلة وتمارين محلولة — الرياضيات — السنة الأولى متوسط — المنهاج الجزائري

الدرس: مضاعفات عدد وقواسمه

أهداف التعلم:

• أن يتعرف التلميذ على مفهوم المضاعف والقاسم لعدد طبيعي.
• أن يتقن إيجاد مضاعفات عدد وقواسمه.
• أن يميز بين الأعداد الأولية والأعداد غير الأولية.
• أن يوظف المضاعفات والقواسم في حل المسائل الحسابية.

أولاً: مضاعفات عدد طبيعي

تعريف: مضاعفات عدد طبيعي a هي الأعداد الناتجة عن ضرب a في الأعداد الطبيعية (0، 1، 2، 3، …).

مثال: مضاعفات العدد 3 هي: 0، 3، 6، 9، 12، 15، 18، 21، 24، …

نلاحظ أن مضاعفات العدد 3 تُكتب: M₃ = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, …}

ثانياً: قواسم عدد طبيعي

تعريف: قواسم عدد طبيعي a هي الأعداد الطبيعية التي يقبل a القسمة عليها بدون باقٍ.

مثال: قواسم العدد 12 هي: 1، 2، 3، 4، 6، 12 لأن:
12 ÷ 1 = 12    12 ÷ 2 = 6    12 ÷ 3 = 4    12 ÷ 4 = 3    12 ÷ 6 = 2    12 ÷ 12 = 1

ثالثاً: العلاقة بين المضاعفات والقواسم

إذا كان b قاسماً لـ a (أي a يقبل القسمة على b)، فإن a هو مضاعف لـ b.

العدد	قواسمه	أول مضاعفاته (غير 0)
6	1، 2، 3، 6	6، 12، 18، 24، 30
7	1، 7	7، 14، 21، 28، 35
15	1، 3، 5، 15	15، 30، 45، 60، 75

رابعاً: الأعداد الأولية

تعريف: العدد الأولي هو عدد طبيعي أكبر من 1 يقبل القسمة على 1 وعلى نفسه فقط.

مثال: الأعداد 2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23، … هي أعداد أولية.

ملاحظة: العدد 2 هو العدد الأولي الزوجي الوحيد.

أمثلة محلولة:

المثال 1: أوجد جميع قواسم العدد 18.

الحل: قواسم 18 هي: 1، 2، 3، 6، 9، 18.

المثال 2: اكتب مضاعفات العدد 5 المحصورة بين 20 و 50.

الحل: مضاعفات 5: 25، 30، 35، 40، 45.

تمارين:

1. أوجد جميع قواسم كل من: 24، 36، 45.
2. اكتب المضاعفات المشتركة للعددين 3 و 4 الأصغر من 30.
3. هل العدد 29 أولي؟ علل إجابتك.
4. أوجد القاسم المشترك الأكبر للعددين 12 و 18.

الخلاصة:

• مضاعفات عدد a هي: Mₐ = {0, a×1, a×2, a×3, …}.
• قواسم عدد a هي الأعداد التي تقسم a بدون باقٍ.
• كل عدد غير أولي يمكن تحويله إلى جداء عوامل أولية.
• الأعداد الأولية هي لبنات بناء الأعداد الطبيعية.

📍 دروس مشابهة:

• المستقيم ونصف المستقيم والقطعة المستقيمة — الرياضيات — السنة الأولى متوسط
• المثلثات — أنواعها وخواصها — الرياضيات — السنة الأولى متوسط
• الأعداد الطبيعية والأعداد العشرية — الرياضيات — السنة الأولى متوسط