الرياضيات — الأعداد الحقيقية: القيمة المطلقة والمسافة على مستقيم الأعداد (تعريف، خصائص، معادلات ومتراجحات) مع تمارين محلولة — الأولى ثانوي — المنهاج الجزائري

الأعداد الحقيقية: القيمة المطلقة والمسافة على مستقيم الأعداد

المستوى: الأولى ثانوي (جذع مشترك علوم وتكنولوجيا)
المادة: الرياضيات
الأهداف التعليمية:

• تعريف القيمة المطلقة لعدد حقيقي
• التعرف على خصائص القيمة المطلقة
• حل معادلات ومتراجحات القيمة المطلقة
• حساب المسافة بين نقطتين على مستقيم الأعداد

1. تعريف القيمة المطلقة

القيمة المطلقة لعدد حقيقي x (نرمز لها بـ |x|) هي المسافة التي تفصل النقطة ذات الأفصول x عن المبدأ O على مستقيم الأعداد. وهي دائماً عدد غير سالب.

تعريف: |x| = x إذا كان x ≥ 0
|x| = -x إذا كان x < 0
وبذلك يكون |x| ≥ 0 لكل x ∈ ℝ

أمثلة:
|5| = 5 (لأن 5 ≥ 0)
|-3| = -(-3) = 3 (لأن -3 < 0)
|0| = 0
|-√2| = √2

2. خصائص القيمة المطلقة

لتكن a و b عددين حقيقيين:

• |a| ≥ 0 (القيمة المطلقة دائماً غير سالبة)
• |a| = |-a| (القيمة المطلقة لعدد وقابله متساويان)
• |a × b| = |a| × |b| (قابلية الضرب)
• |a / b| = |a| / |b| حيث b ≠ 0 (قابلية القسمة)
• |a + b| ≤ |a| + |b| (المتراجحة المثلثية)
• |a – b| ≥ ||a| – |b||
• |a|² = a²

3. المسافة على مستقيم الأعداد

المسافة بين نقطتين A و B أفصولاهما a و b على مستقيم الأعداد هي:

المسافة AB = |b – a| = |a – b|

وهي دائماً عدد غير سالب وتكون معدومة إذا وفقط إذا انطبقت A على B (أي a = b).

مثال:
المسافة بين A(3) و B(-2): AB = |(-2) – 3| = |-5| = 5

4. معادلات القيمة المطلقة

لتكن a عدداً حقيقياً موجباً قطعاً (a > 0):

• |x| = a ⇔ x = a أو x = -a
• |x| = 0 ⇔ x = 0
• |x| = |-a| ⇒ |x| = a ⇔ x = a أو x = -a

مثال: حل المعادلة |x – 2| = 3
x – 2 = 3 ⇒ x = 5
x – 2 = -3 ⇒ x = -1
إذن مجموعة الحلول: S = {-1, 5}

5. متراجحات القيمة المطلقة

لتكن a عدداً حقيقياً موجباً (a > 0):

• |x| ≤ a ⇔ -a ≤ x ≤ a
• |x| ≥ a ⇔ x ≤ -a أو x ≥ a
• |x – c| ≤ r ⇔ c – r ≤ x ≤ c + r (يمثل المجال [c-r, c+r])
• |x – c| ≥ r ⇔ x ≤ c – r أو x ≥ c + r

مثال: حل المتراجحة |x + 1| ≤ 2
|x + 1| ≤ 2 ⇔ -2 ≤ x + 1 ≤ 2
⇔ -2 – 1 ≤ x ≤ 2 – 1
⇔ -3 ≤ x ≤ 1
إذن S = [-3, 1]

6. تمارين محلولة

التمرين 1: احسب القيم التالية:
أ) |7 – 12| ب) |-8| + |3| ج) |5 – √25|

الحل:
أ) |7 – 12| = |-5| = 5
ب) |-8| + |3| = 8 + 3 = 11
ج) |5 – √25| = |5 – 5| = |0| = 0

التمرين 2 (بكالوريا): أحسب المسافة بين النقطتين A و B في كل حالة:
أ) A(4) و B(9) ب) A(-3) و B(5)

الحل:
أ) AB = |9 – 4| = |5| = 5
ب) AB = |5 – (-3)| = |8| = 8

التمرين 3 (بكالوريا): حل في ℝ المعادلة |2x – 1| = 5

الحل:
2x – 1 = 5 ⇒ 2x = 6 ⇒ x = 3
2x – 1 = -5 ⇒ 2x = -4 ⇒ x = -2
S = {-2, 3}

التمرين 4: حل المتراجحة |3x + 2| < 4

الحل:
-4 < 3x + 2 < 4
-4 – 2 < 3x < 4 – 2
-6 < 3x < 2
-2 < x < 2/3
S = ]-2, 2/3[

خلاصة

القيمة المطلقة أداة أساسية في الرياضيات تستخدم للتعبير عن المسافة وحل المعادلات والمتراجحات. تذكّر دائماً أن القيمة المطلقة تمثل مسافة، وهي دائماً غير سالبة.

📍 دروس مشابهة

• مقارنة بين الخلية النباتية والخلية الحيوانية: التركيب والوظيفة — الأولى ثانوي (ع
• English — Past Continuous Tense: Formation, Uses and Exercises — English — First
• النقود ووظائفها وأنواعها: مفهوم المال وتطوره وأهميته الاقتصادية مع تمارين محلولة