الحساب الحرفي — نشر وتبسيط عبارات جبرية والتحليل باستعمال العامل المشترك — الرياضيات — السنة الثانية متوسط — المنهاج الجزائري

مقدمة

الحساب الحرفي هو فرع من الرياضيات نستخدم فيه الحروف (x, y, a, b…) لتمثيل أعداد غير معروفة أو متغيرة. يساعدنا الحساب الحرفي على حل المسائل الجبرية وترجمة المشكلات الحياتية إلى معادلات. في هذا الدرس سنتعلم كيفية نشر وتبسيط العبارات الجبرية والتحليل باستعمال العامل المشترك.

أهداف الدرس

• التعرف على مفهوم الحساب الحرفي والعبارة الجبرية.
• نشر وتبسيط العبارات الجبرية.
• التحليل باستعمال العامل المشترك.
• تطبيق الحساب الحرفي في حل المسائل.

1. مفهوم العبارة الجبرية

العبارة الجبرية هي تعبير رياضي يتكون من حروف وأعداد وعلامات عمليات. مثال: 3x + 5 — 2y

حيث x و y هما المتغيران أو العددان المجهولان.

2. النشر (التوزيع)

النشر هو تحويل جداء إلى مجموع أو فرق باستعمال قانون التوزيع.

قانون التوزيع: k × (a + b) = k × a + k × b

قانون التوزيع للطرح: k × (a − b) = k × a − k × b

أمثلة:

• 3(x + 4) = 3x + 12
• 5(2x − 3) = 10x − 15
• −2(x + 5) = −2x − 10

نشر جداء قوسين:

(a + b)(c + d) = a × c + a × d + b × c + b × d

مثال: (x + 3)(x + 5) = x² + 5x + 3x + 15 = x² + 8x + 15

3. تبسيط عبارة جبرية

لتبسيط عبارة جبرية نقوم بتجميع الحدود المتشابهة. الحدود المتشابهة هي التي لها نفس المتغير ونفس الأس.

مثال: بسط العبارة التالية: 3x + 5 − 2x + 7 + 4x

نقوم بجمع الحدود التي تحتوي x: 3x − 2x + 4x = 5x

نجمع الحدود الثابتة: 5 + 7 = 12

إذن: 3x + 5 − 2x + 7 + 4x = 5x + 12

4. التحليل باستعمال العامل المشترك

التحليل هو عكس النشر: تحويل مجموع أو فرق إلى جداء.

العامل المشترك الأكبر: هو أكبر عدد أو متغير مشترك بين جميع حدود العبارة.

خطوات التحليل بالعامل المشترك:

1. نحدد العامل المشترك الأكبر بين جميع الحدود.
2. نقسم كل حد على هذا العامل المشترك.
3. نكتب النتيجة على شكل: العامل المشترك × (ناتج القسمة).

أمثلة:

مثال 1: حلل العبارة: 6x + 12

العامل المشترك الأكبر هو 6. إذن: 6x + 12 = 6(x + 2)

مثال 2: حلل العبارة: 4x² + 8x

العامل المشترك الأكبر هو 4x. إذن: 4x² + 8x = 4x(x + 2)

مثال 3: حلل العبارة: 15x²y + 5xy²

العامل المشترك الأكبر هو 5xy. إذن: 15x²y + 5xy² = 5xy(3x + y)

تمارين محلولة

التمرين 1:

انشر وبسط العبارة: 2(3x + 4) + 5(2x − 1)

الحل: 6x + 8 + 10x − 5 = 16x + 3

التمرين 2:

حلل العبارة: 12x² − 18x

الحل: العامل المشترك = 6x. إذن 12x² − 18x = 6x(2x − 3)

خلاصة

العملية	التعريف	مثال
النشر	تحويل جداء إلى مجموع	3(x + 2) = 3x + 6
التبسيط	تجميع الحدود المتشابهة	3x + 2x = 5x
التحليل	تحويل مجموع إلى جداء	6x + 12 = 6(x + 2)

دروس مشابهة

• التناسبية في الرياضيات — الرياضيات — السنة الثالثة متوسط
• المعادلات من الدرجة الأولى — الرياضيات — السنة الرابعة متوسط