الهندسة الفضائية: الأسطوانة والكرة (المساحات والحجوم) مع تمارين محلولة — الرياضيات — الأولى ثانوي — المنهاج الجزائري

الهندسة الفضائية: الأسطوانة والكرة — المساحات والحجوم

أهداف الدرس:

• التعرف على المجسمات الهندسية (الأسطوانة والكرة)
• حساب المساحة الجانبية والكلية للأسطوانة والكرة
• حساب حجم الأسطوانة والكرة
• تطبيق القوانين في مسائل متنوعة

أولاً: الأسطوانة الدائرية القائمة

تعريف: الأسطوانة الدائرية القائمة هي مجسم هندسي قاعدتهما دائرتان متوازيتان ومتطابقتان، وجانبها سطح منحن يصل بين محيطي القاعدتين.

المساحة الجانبية للأسطوانة: المساحة الجانبية = 2π × r × h (حيث r نصف قطر القاعدة و h الارتفاع)

المساحة الكلية للأسطوانة: المساحة الكلية = المساحة الجانبية + مساحة القاعدتين = 2πrh + 2πr²

حجم الأسطوانة: الحجم = π × r² × h

ثانياً: الكرة

تعريف: الكرة هي مجموعة النقاط في الفضاء التي تبعد مسافة ثابتة (نصف القطر) عن نقطة ثابتة (مركز الكرة).

مساحة سطح الكرة: المساحة = 4π × r²

حجم الكرة: الحجم = (4/3) × π × r³

ثالثاً: العلاقات بين المجسمات

عند مقارنة الأسطوانة والكرة اللذين لهما نفس نصف القطر:

• مساحة سطح الكرة = 4πr²
• مساحة الأسطوانة الكلية (إذا كان الارتفاع = 2r) = 6πr²
• حجم الكرة = (4/3)πr³
• حجم الأسطوانة (إذا كان الارتفاع = 2r) = 2πr³

تمارين محلولة

التمرين الأول: أسطوانة دائرية قائمة نصف قطر قاعدتها 5cm وارتفاعها 10cm. احسب: (1) المساحة الجانبية (2) المساحة الكلية (3) الحجم.

الحل:

(1) المساحة الجانبية = 2π × 5 × 10 = 100π cm² ≈ 314.16 cm²

(2) المساحة الكلية = 100π + 2π × 25 = 100π + 50π = 150π cm² ≈ 471.24 cm²

(3) الحجم = π × 25 × 10 = 250π cm³ ≈ 785.4 cm³

التمرين الثاني: كرة نصف قطرها 6cm. احسب: (1) مساحة سطحها (2) حجمها.

الحل:

(1) المساحة = 4π × 36 = 144π cm² ≈ 452.39 cm²

(2) الحجم = (4/3) × π × 216 = 288π cm³ ≈ 904.78 cm³

التمرين الثالث (بكالوريا): أسطوانة دائرية قائمة حجمها 1000π cm³ وارتفاعها 10cm. احسب: (1) نصف قطر قاعدتها (2) المساحة الكلية للأسطوانة.

الحل:

(1) حجم الأسطوانة = π × r² × h = π × r² × 10 = 1000π → r² = 100 → r = 10cm

(2) المساحة الكلية = 2πrh + 2πr² = 2π×10×10 + 2π×100 = 200π + 200π = 400π cm² ≈ 1256.64 cm²

التمرين الرابع: كرة حجمها 36π cm³. جد نصف قطرها ومساحة سطحها.

الحل: (4/3)πr³ = 36π → r³ = 27 → r = 3cm. المساحة = 4π × 9 = 36π cm² ≈ 113.1 cm²

للمزيد من دروس الرياضيات، راجع درس الهندسة في الفضاء: الموشور القائم والهرم ودرس دراسة الدوال العددية.