المستقيمات الخاصة في المثلث — الارتفاع والمنصف والوسيط والمحور — الرياضيات — السنة الثالثة متوسط — المنهاج الجزائري

المستقيمات الخاصة في المثلث — الرياضيات — السنة الثالثة متوسط — المنهاج الجزائري

أهداف الدرس

• أن يتعرف المتعلم على المستقيمات الخاصة في المثلث
• أن يميز بين الارتفاع والمنصف والوسيط والمحور
• أن يستخدم خصائص هذه المستقيمات في حل المسائل الهندسية

أولاً: تعريف المستقيمات الخاصة في المثلث

المستقيمات الخاصة في المثلث هي أربعة أنواع من المستقيمات التي ترتبط بخصائص هندسية مهمة: الارتفاع، المنصف، الوسيط، المحور (العمودي).

ثانياً: أنواع المستقيمات الخاصة

المستقيم	التعريف	الرمز	مثال
الارتفاع	هو المستقيم المار برأس المثلث والعمودي على الضلع المقابل لهذا الرأس	[AH] عمودي على [BC]	ارتفاع مثلث ABC من الرأس A هو المستقيم المار بـ A والعمودي على BC
المنصف	هو المستقيم الذي يقسم الزاوية إلى زاويتين متساويتين	∠BAI = ∠IAC	منصف الزاوية A يقسمها إلى زاويتين متساويتين
الوسيط	هو المستقيم المار برأس المثلث ومنتصف الضلع المقابل لهذا الرأس	M منتصف [BC]، A, M ينتميان للمستقيم	الوسيط من الرأس A يمر بمنتصف الضلع BC
المحور العمودي (الوسيط العمودي)	هو المستقيم العمودي على ضلع من أضلاع المثلث في منتصفه	(d) عمودي على [BC] ويمر بمنتصفه	محور الضلع BC هو مستقيم عمودي عليه في منتصفه

ثالثاً: خصائص المستقيمات الخاصة (النقاط الهامة)

1. نقطة تقاطع الارتفاعات (مركز التعامد)

الارتفاعات الثلاثة في المثلث تتلاقى في نقطة واحدة تسمى مركز التعامد (نقطة H).

• في المثلث الحاد الزوايا: تقع نقطة التعامد داخل المثلث.
• في المثلث القائم الزاوية: تقع عند رأس الزاوية القائمة.
• في المثلث المنفرج الزاوية: تقع خارج المثلث.

2. نقطة تقاطع المنصفات (مركز الدائرة الداخلية)

منصفات الزوايا الثلاث تتلاقى في نقطة واحدة تسمى مركز الدائرة الداخلية (نقطة I).

• تقع هذه النقطة دائماً داخل المثلث.
• هي مركز الدائرة التي تمس أضلاع المثلث من الداخل.

3. نقطة تقاطع المتوسطات (مركز ثقل المثلث)

المتوسطات الثلاثة تتلاقى في نقطة واحدة تسمى مركز ثقل المثلث (نقطة G).

• مركز الثقل يقسم كل وسط بنسبة 2:1 من جهة الرأس.
• أي: AG = 2 × GM (حيث M منتصف BC).

4. نقطة تقاطع المحاور العمودية (مركز الدائرة المحيطة)

المحاور العمودية الثلاثة تتلاقى في نقطة واحدة تسمى مركز الدائرة المحيطة بالمثلث (نقطة O).

• هي مركز الدائرة التي تمر برؤوس المثلث الثلاثة.
• في المثلث الحاد: تقع داخل المثلث.
• في المثلث القائم: تقع عند منتصف الوتر.
• في المثلث المنفرج: تقع خارج المثلث.

رابعاً: جدول يلخص النقاط الهامة

المستقيم	عددها في المثلث	نقطة التقاطع	الرمز
الارتفاع	3	مركز التعامد	H
المنصف	3	مركز الدائرة الداخلية	I
الوسيط	3	مركز الثقل	G
المحور العمودي	3	مركز الدائرة المحيطة	O

خامساً: أمثلة محلولة

مثال 1: في مثلث ABC قائم الزاوية في A، ما موقع مركز التعامد H؟

الحل: في المثلث القائم الزاوية، الارتفاعان من الرأسين B و C هما ضلعا الزاوية القائمة AB و AC، والارتفاع من A هو العمود على BC. تتلاقى الارتفاعات في الرأس A، إذن مركز التعامد H هو النقطة A نفسها.

مثال 2: في مثلث ABC، إذا كان G مركز ثقل المثلث و M منتصف BC حيث AG = 6 cm، فما طول GM؟

الحل: نعلم أن AG = 2 × GM، إذن 6 = 2 × GM، ومنه GM = 3 cm.

سادساً: تمارين تطبيقية

1. ارسم مثلثاً مختلف الأضلاع وحدد فيه الارتفاعات الثلاثة، ثم عين نقطة تقاطعها.
2. في مثلث ABC قائم الزاوية في B، أين تقع نقطة تقاطع المحاور العمودية؟
3. إذا كان طول الوسيط من الرأس A في مثلث ABC يساوي 9 cm، فما المسافة من الرأس A إلى مركز الثقل G؟
4. أكمل العبارات التالية:
   • منصف الزاوية هو مستقيم يقسم الزاوية إلى …… متساويتين.
   • الوسيط هو مستقيم يمر برأس المثلث و …… الضلع المقابل.
   • المحور العمودي لضلع هو مستقيم …… على هذا الضلع في منتصفه.

سابعاً: خلاصة الدرس

المستقيمات الخاصة في المثلث هي: الارتفاع (عمودي على الضلع من الرأس المقابل)، المنصف (يقسم الزاوية إلى قسمين متساويين)، الوسيط (يمر بالرأس ومنتصف الضلع المقابل)، المحور العمودي (عمودي على الضلع في منتصفه). كل منها تتلاقى ثلاثتها في نقطة واحدة: مركز التعامد H، مركز الدائرة الداخلية I، مركز الثقل G، مركز الدائرة المحيطة O على الترتيب.

دروس مشابهة

• الإحصاء — مقاييس النزعة المركزية — الرياضيات — السنة الثالثة متوسط
• النسب المثلثية في المثلث القائم — جيب الزاوية وجيب التمام والظل — الرياضيات — السنة الثالثة متوسط