موضوع امتحان بكالوريا 2026 في الرياضيات مع الحل – شعبة علوم تجريبية

📌 التمرين الأول (05 نقاط)

نعتبر الدالة f المعرفة على ℝ بـ:

f(x) = e^x − x − 1

1. احسب lim_x→−∞ f(x) و lim_x→+∞ f(x).
2. ادرس اتجاه تغير الدالة f ثم شكل جدول تغيراتها.
3. بين أن المعادلة f(x) = 0 تقبل حلاً وحيداً في ℝ ثم استنتج إشارة f(x).
4. أكتب معادلة المماس (T) للمنحنى (C_f) عند النقطة ذات الفاصلة x = 0.
5. احسب ∫₋₁¹ f(x) dx.

📌 التمرين الثاني (05 نقاط)

نعتبر المتتالية العددية (u_n) المعرفة بـ:

u₀ = 3 و u_n+1 = √(2u_n − 1)

1. بين بالتراجع أن u_n > 1 لكل n ∈ ℕ.
2. ادرس رتابة المتتالية (u_n).
3. بين أن المتتالية (u_n) متقاربة ثم أوجد نهايتها.
4. احسب u₁ و u₂ مقرباً إلى 10⁻².

📌 التمرين الثالث (05 نقاط)

في الفضاء المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم (O; i→, j→, k→)، نعتبر النقط:

A(2, −1, 3), B(1, 2, −1), C(0, 1, 2)

1. بين أن النقط A, B, C تحدد مستوياً.
2. أوجد معادلة ديكارتية للمستوى (ABC).
3. أوجد المسافة بين النقطة D(1, −2, 0) والمستوى (ABC).
4. أوجد إسقاط D العمودي على المستوى (ABC).

📌 التمرين الرابع (05 نقاط)

صندوق يحتوي على 7 كريات: 3 حمراء و 2 خضراء و 2 زرقاء. نسحب عشوائياً ثلاث كريات على التوالي وبإرجاع.

1. ما هو عدد السحوبات الممكنة؟
2. احسب احتمال الحصول على ثلاث كريات من نفس اللون.
3. احسب احتمال الحصول على كريتين حمراوين وكريتين خضراوين (غير ممكن)
4. نعتبر المتغير العشوائي X الذي يساوي عدد الكريات الحمراء المسحوبة. عين قانون احتمال X ثم احسب الأمل الرياضياتي E(X).

🔹 حل التمرين الأول

1. النهايات:
   • lim_x→−∞ f(x) = lim_x→−∞ (e^x − x − 1) = 0 + ∞ − 1 = +∞
   • lim_x→+∞ f(x) = lim_x→+∞ (e^x − x − 1) = +∞
2. اتجاه التغير:
   f′(x) = e^x − 1
   إشارة f′(x):
   • على ]−∞, 0[: e^x < 1 ⇒ f′(x) < 0 ⇒ f متناقصة
   • على ]0, +∞[: e^x > 1 ⇒ f′(x) > 0 ⇒ f متزايدة
   • f(0) = e⁰ − 0 − 1 = 0
3. المعادلة f(x) = 0:
   على ]−∞, 0] الدالة f متناقصة ورتيبة تماماً، و f(0) = 0، إذن x = 0 هو الحل الوحيد.
   على [0, +∞[ الدالة f متزايدة و f(0) = 0، إذن x = 0 هو الحل الوحيد.
   إذن f(x) ≥ 0 لكل x ∈ ℝ (f(x) = 0 فقط عند x = 0).
4. المماس عند x = 0:
   f′(0) = e⁰ − 1 = 0
   y = f′(0)(x − 0) + f(0) = 0·x + 0 = 0
   (T): y = 0 (محور الفواصل)
5. التكامل:
   ∫₋₁¹ (e^x − x − 1) dx = [e^x − x²/2 − x]₋₁¹
   = (e − 1/2 − 1) − (e⁻¹ − 1/2 + 1)
   = e − 3/2 − 1/e + 1/2 − 1
   = e − 1/e − 2
   ≈ 2.718 − 0.368 − 2 = 0.350

🔹 حل التمرين الثاني

1. بالتراجع:
   • u₀ = 3 > 1 ✔
   • نفرض u_n > 1، نبرهن u_n+1 > 1:
   u_n > 1 ⇒ 2u_n − 1 > 1 ⇒ √(2u_n − 1) > 1 ⇒ u_n+1 > 1 ✔
2. الرتابة:
   u_n+1 − u_n = √(2u_n − 1) − u_n
   نضع g(x) = √(2x − 1) − x على ]1, +∞[
   g′(x) = 1/√(2x − 1) − 1
   إشارة g′(x): 1/√(2x − 1) − 1 < 0 لأن √(2x − 1) > 1
   g متناقصة تماماً، g(1) = 1 − 1 = 0، g(3) = √5 − 3 ≈ −0.764
   بما أن g(x) ≤ 0 على ]1, +∞[ فإن u_n+1 − u_n ≤ 0، أي المتتالية متناقصة.
3. التقارب:
   المتتالية محدودة من الأسفل بـ 1 ومتناقصة، إذن متقاربة نحو ℓ حيث ℓ ≥ 1.
   ℓ = √(2ℓ − 1) ⇒ ℓ² = 2ℓ − 1 ⇒ ℓ² − 2ℓ + 1 = 0 ⇒ (ℓ − 1)² = 0
   ℓ = 1
4. حساب الحدود:
   u₁ = √(2×3 − 1) = √5 ≈ 2.24
   u₂ = √(2×2.24 − 1) = √3.48 ≈ 1.87

🔹 حل التمرين الثالث

1. تحديد المستوى:
   AB→ = (−1, 3, −4)، AC→ = (−2, 2, −1)
   AB→ و AC→ غير مرتبطين خطياً ⇒ A, B, C تحدد مستوياً.
2. المعادلة الديكارتية:
   n→ = AB→ ∧ AC→ = |i→ j→ k→; −1 3 −4; −2 2 −1|
   = (3×(−1) − (−4)×2, (−4)×(−2) − (−1)×(−1), (−1)×2 − 3×(−2))
   = (−3 + 8, 8 − 1, −2 + 6)
   = (5, 7, 4)
   المستوى (ABC): 5(x − 2) + 7(y + 1) + 4(z − 3) = 0
   5x + 7y + 4z − 15 = 0
3. المسافة:
   d(D, (ABC)) = |5×1 + 7×(−2) + 4×0 − 15| / √(5² + 7² + 4²)
   = |5 − 14 + 0 − 15| / √(25 + 49 + 16)
   = |−24| / √90 = 24/√90 = 24/(3√10)
   = 8/√10
4. الإسقاط العمودي:
   نبحث عن t حيث D′ = D + t·n→ بحيث D′ ∈ (ABC):
   5(1 + 5t) + 7(−2 + 7t) + 4(0 + 4t) − 15 = 0
   5 + 25t − 14 + 49t + 16t − 15 = 0
   90t − 24 = 0 ⇒ t = 24/90 = 4/15
   D′ = (1 + 5×4/15, −2 + 7×4/15, 0 + 4×4/15)
   = (1 + 4/3, −2 + 28/15, 16/15)
   = (7/3, −2/15, 16/15)

🔹 حل التمرين الرابع

1. عدد السحوبات:
   سحب على التوالي وبإرجاع لـ 3 كريات من 7: 7³ = 343 سحباً ممكناً.
2. ثلاث كريات من نفس اللون:
   • حمراء: 3³ = 27
   • خضراء: 2³ = 8
   • زرقاء: 2³ = 8
   P = (27 + 8 + 8) / 343 = 43/343
3. ملاحظة: السؤال غير منطقي (كريتين حمراوين وكريتين خضراوين من 3 كريات)
4. قانون احتمال X:
   X تتبع قانون حداني B(3, 3/7):
   P(X = k) = C₃^k × (3/7)^k × (4/7)^3−k
   • P(X = 0) = (4/7)³ = 64/343
   • P(X = 1) = 3 × (3/7) × (4/7)² = 144/343
   • P(X = 2) = 3 × (3/7)² × (4/7) = 108/343
   • P(X = 3) = (3/7)³ = 27/343
   E(X) = np = 3 × 3/7 = 9/7

📌 بكالوريا 2026 — الرياضيات — شعبة علوم تجريبية — الحل النموذجي — تم التحقق من النتائج.