المعادلات والمتراجحات من الدرجة الأولى بمجهول واحد مع تمارين محلولة — الأولى ثانوي — الرياضيات — المنهاج الجزائري

الدرس: المعادلات والمتراجحات من الدرجة الأولى بمجهول واحد

المستوى: الأولى ثانوي (جذع مشترك) | المادة: الرياضيات

---

أهداف الدرس:

• حل معادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد.
• حل متراجحة من الدرجة الأولى بمجهول واحد وتمثيل مجموعة الحلول على المستقيم العددي.
• توظيف المعادلات والمتراجحات في حل مسائل عملية.

أولا: المعادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد

تعريف: المعادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد هي等式 على شكل: ax + b = 0 حيث a ≠ 0 و a, b أعداد حقيقية.

الحل: x = -b / a

مثال 1:

حل المعادلة: 2x – 6 = 0

الحل: 2x = 6 → x = 6/2 → x = 3. مجموعة الحلول: S = {3}

مثال 2:

حل المعادلة: -3x + 9 = 0

الحل: -3x = -9 → x = (-9)/(-3) → x = 3. مجموعة الحلول: S = {3}

ثانيا: المتراجحة من الدرجة الأولى بمجهول واحد

تعريف: المتراجحة من الدرجة الأولى هي关系 على شكل: ax + b > 0 أو ax + b < 0 أو ax + b ≥ 0 أو ax + b ≤ 0.

قواعد حل المتراجحة:

• عند إضافة أو طرح نفس العدد من طرفي المتراجحة، لا يتغير اتجاهها.
• عند ضرب أو قسمة طرفي المتراجحة على عدد موجب، لا يتغير اتجاهها.
• عند ضرب أو قسمة طرفي المتراجحة على عدد سالب، ينعكس اتجاهها.

مثال 1:

حل المتراجحة: 2x – 4 > 0

الحل: 2x > 4 → x > 2. مجموعة الحلول: S = ]2 ; +∞[

مثال 2:

حل المتراجحة: -3x + 6 ≤ 0

الحل: -3x ≤ -6 → x ≥ 2 (عكسنا اتجاه المتراجحة لأننا قسمنا على عدد سالب). S = [2 ; +∞[

ثالثا: حل مسائل (نموذج بكالوريا)

مسألة: مستطيل طوله يزيد عن عرضه بـ 4 cm. إذا كان محيطه 28 cm، فما هو طوله وعرضه؟

الحل:

• نفرض العرض = x، الطول = x + 4
• المحيط = 2(الطول + العرض) = 2(x + x + 4) = 2(2x + 4) = 4x + 8
• 4x + 8 = 28 → 4x = 20 → x = 5
• العرض = 5 cm، الطول = 5 + 4 = 9 cm

تمارين محلولة:

التمرين 1: حل المعادلات التالية:

أ) 5x – 15 = 0
ب) -2x + 8 = 0

الحل:

• أ) 5x = 15 → x = 3. S = {3}
• ب) -2x = -8 → x = 4. S = {4}

التمرين 2: حل المتراجحات التالية ومثل مجموعة الحلول على المستقيم العددي:

أ) 3x – 12 < 0
ب) -5x + 10 ≥ 0

الحل:

• أ) 3x < 12 → x < 4. S = ]-∞ ; 4[
• ب) -5x ≥ -10 → x ≤ 2 (عكسنا الاتجاه). S = ]-∞ ; 2]

التمرين 3 (بكالوريا): عددان حقيقيان مجموعهما 20 والفرق بينهما 4. أوجد العددين.

الحل: نفرض x و y العددين. لدينا: x + y = 20 و x – y = 4. بجمع المعادلتين: 2x = 24 → x = 12. بالتعويض: 12 + y = 20 → y = 8. العددان هما 12 و 8.

روابط مفيدة:

• الأعداد الحقيقية والعمليات عليها — الأولى ثانوي
• المثلثات: أنواعها وخواصها — الأولى ثانوي

الدرس من إعداد أستاذ الثانوي القوي — المنهاج الجزائري — جميع الحقوق محفوظة Dz-Onec.com