النسب المثلثية في المثلث القائم — جيب الزاوية وجيب التمام والظل — الرياضيات — السنة الثالثة متوسط — المنهاج الجزائري

النسب المثلثية في المثلث القائم

تعريف المثلث القائم

المثلث القائم هو مثلث له زاوية قائمة (قياسها 90°). في المثلث القائم، توجد علاقات رياضية مهمة بين أضلاعه تسمى النسب المثلثية، وهي أساس علم المثلثات وتستخدم في الهندسة والفيزياء.

مصطلحات أساسية

في المثلث ABC القائم في B، بالنسبة للزاوية الحادة A:

• الوتر: أطول ضلع في المثلث القائم، وهو المقابل للزاوية القائمة (AC)
• الضلع المقابل: الضلع المقابل للزاوية A (BC)
• الضلع المجاور: الضلع المجاور للزاوية A وغير الوتر (AB)

النسب المثلثية الأساسية

النسبة	الرمز	القانون
جيب الزاوية	sin A	الضلع المقابل ÷ الوتر
جيب تمام الزاوية	cos A	الضلع المجاور ÷ الوتر
ظل الزاوية	tan A	الضلع المقابل ÷ الضلع المجاور

العلاقات الأساسية

• sin²A + cos²A = 1 (العلاقة الأساسية)
• tan A = sin A ÷ cos A

مثال محلول

المثال: في المثلث ABC القائم في B، AB = 3 cm، BC = 4 cm. احسب كلاً من: sin A، cos A، tan A.

الحل:
أولاً: نحسب الوتر AC باستخدام نظرية فيثاغورس:
AC² = AB² + BC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25 → AC = √25 = 5 cm

sin A = BC ÷ AC = 4 ÷ 5 = 0.8
cos A = AB ÷ AC = 3 ÷ 5 = 0.6
tan A = BC ÷ AB = 4 ÷ 3 ≈ 1.333

التحقق: sin²A + cos²A = (0.8)² + (0.6)² = 0.64 + 0.36 = 1 ✓

تمارين للتطبيق

التمرين 1: في المثلث XYZ القائم في Y، XY = 5 cm، YZ = 12 cm. احسب sin X، cos X، tan X.
التمرين 2: إذا كان sin θ = 3/5، فاحسب cos θ و tan θ.
التمرين 3: في مثلث قائم، الوتر = 13 cm، أحد الضلعين = 5 cm. احسب النسب المثلثية للزاوية الحادة المقابلة للضلع 5 cm.

خلاصة الدرس

النسب المثلثية (جيب، جيب تمام، ظل) هي علاقات أساسية بين أضلاع المثلث القائم. تذكر دائماً: SOH CAH TOA: Sin = مقابل/وتر، Cos = مجاور/وتر، Tan = مقابل/مجاور. العلاقة sin²θ + cos²θ = 1 تسمى المتطابقة الأساسية وهي أساس الكثير من القوانين المثلثية.

📍 دروس مشابهة

• المعالم في المستوى — تمثيل النقط وتحديد الإحداثيات
• الدوال التآلفية — مفهومها وتمثيلها البياني
• القوى (الأسس الصحيحة الموجبة) — مفهومها وخصائصها

📖 جميع دروس المتوسط | دروس السنة الثالثة متوسط