الدالة الخطية والدالة التآلفية — تعريف وتمثيل بياني — الرياضيات — السنة الرابعة متوسط — المنهاج الجزائري

مقدمة

الدوال الخطية والدوال التآلفية من أهم المفاهيم في الرياضيات، وهي أساس لفهم العلاقات بين الكميات المختلفة. في هذا الدرس سنتعرف على تعريف كل منها وطريقة تمثيلها بيانياً وكيفية تحديد معادلاتها.

أهداف الدرس

• تعريف الدالة الخطية والدالة التآلفية
• التعرف على معامل الدالة والحد الثابت
• تمثيل الدوال خطياً في معلم متعامد
• إيجاد صورة عدد بدالة خطية أو تآلفية
• تحديد الدالة انطلاقاً من تمثيلها البياني

أولا: الدالة الخطية

1. تعريف

الدالة الخطية هي دالة من الشكل: f(x) = ax حيث a عدد حقيقي يسمى معامل الدالة.

تسمى خطية لأن تمثيلها البياني عبارة عن مستقيم يمر من أصل المعلم (0,0).

2. مثال

f(x) = 3x

• إذا كان x = 1 فإن f(1) = 3 × 1 = 3
• إذا كان x = 2 فإن f(2) = 3 × 2 = 6
• إذا كان x = -1 فإن f(-1) = 3 × (-1) = -3

النقاط (1,3) و (2,6) و (-1,-3) تنتمي إلى التمثيل البياني للدالة.

3. التمثيل البياني

لتمثيل دالة خطية بيانياً، نحتاج إلى نقطتين:

• النقطة الأولى: أصل المعلم O(0,0)
• النقطة الثانية: نختار أي قيمة x ونحسب صورتُها f(x)

مثال: f(x) = 2x — نأخذ x = 3 → f(3) = 6 → النقطة (3,6)

ثانيا: الدالة التآلفية

1. تعريف

الدالة التآلفية هي دالة من الشكل: f(x) = ax + b حيث a و b عددان حقيقيان.

• a: معامل الدالة (يحدد اتجاه المستقيم)
• b: الحد الثابت (يحدد تقاطع المستقيم مع محور التراتيب)

2. مثال

f(x) = 2x + 1

• إذا كان x = 0 فإن f(0) = 2 × 0 + 1 = 1 (النقطة (0,1) هي تقاطع المستقيم مع محور التراتيب)
• إذا كان x = 1 فإن f(1) = 2 × 1 + 1 = 3
• إذا كان x = -1 فإن f(-1) = 2 × (-1) + 1 = -1

3. التمثيل البياني

لتمثيل دالة تآلفية بيانياً، نختار قيمتين مختلفتين لـ x ونحسب صورتَيهما، ثم نرسم المستقيم المار بالنقطتين.

مثال: f(x) = -x + 3

• x = 0 → f(0) = 3 → النقطة A(0,3)
• x = 3 → f(3) = 0 → النقطة B(3,0)

ثالثا: العلاقة بين الدالة الخطية والدالة التآلفية

الخاصية	الدالة الخطية f(x) = ax	الدالة التآلفية f(x) = ax + b
نوع التمثيل	مستقيم	مستقيم
المرور من أصل المعلم	نعم	لا (إلا إذا كان b = 0)
تقاطع محور التراتيب	عند 0	عند b
حالة خاصة	دالة تآلفية حيث b = 0	حالة عامة

رابعا: تمارين تطبيقية

التمرين الأول: صنف الدوال التالية

حدد أي الدوال خطية وأيها تآلفية:

1. f(x) = 5x → (خطية)
2. g(x) = -3x + 2 → (تآلفية)
3. h(x) = 4 → (تآلفية: a=0, b=4 — دالة ثابتة)
4. k(x) = x/2 → (خطية: a = 1/2)

التمرين الثاني: حساب الصور

لتكن f(x) = 3x – 2. أحسب:

1. f(0) = 3 × 0 – 2 = -2
2. f(2) = 3 × 2 – 2 = 4
3. f(-1) = 3 × (-1) – 2 = -5
4. f(1/3) = 3 × (1/3) – 2 = 1 – 2 = -1

التمرين الثالث: تحديد دالة من تمثيلها

مستقيم يمر من النقطتين A(0,2) و B(2,6). حدد الدالة التآلفية الممثلة بهذا المستقيم.

الحل:

الدالة التآلفية: f(x) = ax + b

من النقطة A(0,2): f(0) = b = 2

من النقطة B(2,6): f(2) = 2a + 2 = 6 → 2a = 4 → a = 2

إذن: f(x) = 2x + 2

خلاصة

• الدالة الخطية: f(x) = ax — تمثيلها مستقيم يمر من أصل المعلم.
• الدالة التآلفية: f(x) = ax + b — تمثيلها مستقيم لا يمر من أصل المعلم (إلا إذا كان b=0).
• العدد a يحدد اتجاه المستقيم (تزايد أو تناقص).
• العدد b هو قيمة f(0) ويحدد نقطة تقاطع المستقيم مع محور التراتيب.
• الدالة الخطية هي حالة خاصة من الدالة التآلفية حيث b=0.

دروس مشابهة

• المعادلات من الدرجة الأولى بمجهول واحد
• المقادير المركبة والنشر والتعميل