الإحصاء — مقاييس النزعة المركزية (الوسط الحسابي والوسيط والمنوال) — الرياضيات — السنة الثالثة متوسط — المنهاج الجزائري

مقدمة

في الإحصاء، نقوم بجمع البيانات وتحليلها لاستخلاص المعلومات. من أهم ما نبحث عنه هو القيمة التي تمثل مجموعة البيانات، وتسمى مقاييس النزعة المركزية. في هذا الدرس، سنتعلم ثلاثة مقاييس رئيسية: الوسط الحسابي، الوسيط، والمنوال.

أهداف الدرس

• حساب الوسط الحسابي لمجموعة من البيانات
• إيجاد الوسيط (القيمة الوسيطة) لمجموعة بيانات
• تحديد المنوال (القيمة الأكثر تكراراً)
• استخدام مقاييس النزعة المركزية في تحليل البيانات

أولاً: الوسط الحسابي (المتوسط)

تعريفه:

الوسط الحسابي هو مجموع القيم مقسوماً على عددها. يُرمز له بالرمز x̄ (إكس بار).

الوسط الحسابي = مجموع القيم ÷ عدد القيم

مثال 1:

حصل تلميذ على العلامات التالية في 5 مواد: 15، 12، 18، 10، 14. احسب معدله.

الحل:

مجموع العلامات = 15 + 12 + 18 + 10 + 14 = 69

الوسط الحسابي = 69 ÷ 5 = 13.8

مثال 2 (مع جدول تكرار):

الجدول التالي يبين علامات تلاميذ قسم في اختبار الرياضيات:

العلامة	10	11	12	13	14	15
عدد التلاميذ	3	5	7	4	3	2

الوسط الحسابي = (10×3 + 11×5 + 12×7 + 13×4 + 14×3 + 15×2) ÷ (3+5+7+4+3+2)

= (30 + 55 + 84 + 52 + 42 + 30) ÷ 24 = 293 ÷ 24 ≈ 12.21

ثانياً: الوسيط (Mediane)

تعريفه:

الوسيط هو القيمة التي تقسم البيانات المرتبة ترتيباً تصاعدياً إلى نصفين متساويين.

خطوات إيجاد الوسيط:

1. رتب البيانات ترتيباً تصاعدياً (من الأصغر إلى الأكبر).
2. إذا كان عدد القيم (n) فردياً: الوسيط هو القيمة التي ترتيبها (n+1) ÷ 2.
3. إذا كان عدد القيم (n) زوجياً: الوسيط هو متوسط القيمتين في المنتصف (الترتيب n/2 و n/2 + 1).

مثال 1 (عدد فردي):

البيانات: 5، 9، 3، 7، 6

الترتيب: 3، 5، 6، 7، 9 — عدد القيم = 5 (فردي) → الوسيط = القيمة الثالثة = 6

مثال 2 (عدد زوجي):

البيانات: 12، 8، 15، 10، 6، 14

الترتيب: 6، 8، 10، 12، 14، 15 — عدد القيم = 6 (زوجي) → الوسيط = (10 + 12) ÷ 2 = 11

ثالثاً: المنوال (Mode)

تعريفه:

المنوال هو القيمة الأكثر تكراراً في مجموعة البيانات. قد يكون هناك منوال واحد أو أكثر أو لا يوجد منوال.

أنواع المنوال:

• أحادي المنوال: قيمة واحدة تتكرر أكثر من غيرها.
• ثنائي المنوال: قيمتان تتكرران بنفس العدد.
• عديم المنوال: جميع القيم تتكرر مرة واحدة فقط.

مثال:

البيانات: 4، 7، 4، 9، 4، 7، 5

التكرارات: 4 تكررت 3 مرات، 7 تكررت مرتين، باقي القيم مرة واحدة.

المنوال = 4 (القيمة الأكثر تكراراً).

مقارنة بين المقاييس الثلاثة

المقياس	التعريف	متى نستخدمه
الوسط الحسابي	مجموع القيم ÷ عددها	عند عدم وجود قيم متطرفة (شاذة)
الوسيط	القيمة الوسطى بعد الترتيب	عند وجود قيم متطرفة تؤثر على المتوسط
المنوال	القيمة الأكثر تكراراً	عند تحليل البيانات النوعية أو التكرارات

تمارين تطبيقية

1. احسب الوسط الحسابي للعلامات: 16، 14، 13، 18، 15، 17.
2. أوجد الوسيط للبيانات: 22، 18، 25، 20، 30، 15، 28.
3. حدد المنوال (إن وجد) للبيانات: 3، 5، 3، 7، 9، 3، 5، 7.
4. في صف دراسي، أطوال 5 تلاميذ هي: 152cm، 148cm، 155cm، 150cm، 160cm. احسب متوسط الطول.

خلاصة

• الوسط الحسابي = مجموع القيم ÷ عددها، يتأثر بالقيم المتطرفة.
• الوسيط = القيمة التي تقسم البيانات إلى نصفين متساويين، لا يتأثر بالقيم المتطرفة.
• المنوال = القيمة الأكثر تكراراً، يستخدم للبيانات النوعية والعددية.
• اختيار المقياس المناسب يعتمد على طبيعة البيانات والغرض من التحليل.

دروس مشابهة

• النسب المثلثية في المثلث القائم — جيب الزاوية وجيب التمام والظل — الرياضيات — السنة الثالثة متوسط
• المعالم في المستوى — تمثيل النقط وتحديد الإحداثيات — الرياضيات — السنة الثالثة متوسط