الاشتقاقية: قواعد الاشتقاق وتطبيقاتها مع تمارين محلولة – الثانية ثانوي (رياضيات) – المنهاج الجزائري

📌 مثال 1: مشتقة دالة كثيرة حدود

احسب مشتقة الدالة \\( f(x) = 3x^2 – 5x + 2 \\).

الحل:

نطبق قواعد الاشتقاق:

\\[ f'(x) = (3x^2)’ – (5x)’ + (2)’ \\] \\[ f'(x) = 3 \cdot 2x – 5 \cdot 1 + 0 \\] \\[ f'(x) = 6x – 5 \\]

📌 مثال 2: مشتقة جداء دالتين

احسب مشتقة الدالة \\( f(x) = (2x + 1)(x^2 – 3) \\).

الحل:

نضع \\( u(x) = 2x + 1 \\) و \\( v(x) = x^2 – 3 \\):

\\[ u'(x) = 2, \quad v'(x) = 2x \\] \\[ f'(x) = u’ \cdot v + u \cdot v’ = 2 \cdot (x^2 – 3) + (2x + 1) \cdot 2x \\] \\[ f'(x) = 2x^2 – 6 + 4x^2 + 2x \\] \\[ f'(x) = 6x^2 + 2x – 6 \\]

📌 مثال 3: مشتقة دالة ناطقة

احسب مشتقة الدالة \\( f(x) = \frac{x + 1}{x – 2} \\) على المجال \\( \mathbb{R} \setminus \{2\} \\).

الحل:

نضع \\( u(x) = x + 1 \\) و \\( v(x) = x – 2 \\):

\\[ u'(x) = 1, \quad v'(x) = 1 \\] \\[ f'(x) = \frac{u’ \cdot v – u \cdot v’}{v^2} = \frac{1 \cdot (x – 2) – (x + 1) \cdot 1}{(x – 2)^2} \\] \\[ f'(x) = \frac{x – 2 – x – 1}{(x – 2)^2} = \frac{-3}{(x – 2)^2} \\]

📌 مثال 4: مشتقة دالة مثلثية

احسب مشتقة الدالة \\( f(x) = \sin x \cdot \cos x \\).

الحل:

نضع \\( u(x) = \sin x \\) و \\( v(x) = \cos x \\):

\\[ u'(x) = \cos x, \quad v'(x) = -\sin x \\] \\[ f'(x) = u’ \cdot v + u \cdot v’ = \cos x \cdot \cos x + \sin x \cdot (-\sin x) \\] \\[ f'(x) = \cos^2 x – \sin^2 x = \cos(2x) \\]

📌 مثال 5: معادلة المماس

لتكن \\( f(x) = x^2 – 3x + 1 \\). أوجد معادلة المماس للمنحنى \\( C_f \\) عند النقطة التي فاصلتها \\( x_0 = 2 \\).

الحل:

\\[ f'(x) = 2x – 3 \implies f'(2) = 2(2) – 3 = 1 \\] \\[ f(2) = 2^2 – 3(2) + 1 = 4 – 6 + 1 = -1 \\]

معادلة المماس عند \\( A(2, -1) \\):

\\[ y = f'(2)(x – 2) + f(2) \\] \\[ y = 1(x – 2) + (-1) \\] \\[ y = x – 3 \\]