المعادلات والمتراجحات من الدرجة الأولى بمجهول واحد — الرياضيات — السنة الرابعة متوسط — المنهاج الجزائري

المعادلات والمتراجحات من الدرجة الأولى هي أدوات رياضية أساسية لحل المشاكل في الرياضيات والعلوم والحياة اليومية. في هذا الدرس، سنتعمق في حل المعادلات والمتراجحات وتمثيل حلولها.

الأهداف التعليمية

• أن يوظف التلميذ قواعد حل المعادلات في حالات مختلفة (مع أقواس، مع مقامات)
• أن يتقن حل متراجحات من الدرجة الأولى بمجهول واحد
• أن يمثل مجموعة حلول المتراجحة على مستقيم الأعداد
• أن يحل مسائل مركبة باستخدام المعادلات والمتراجحات

الشرح المبسط

المعادلة هي مساواة تحتوي على مجهول. المتراجحة هي عدم مساواة تحتوي على مجهول. نرمز للمتراجحة بإحدى العلامات: < (أصغر), > (أكبر), ≤ (أصغر أو يساوي), ≥ (أكبر أو يساوي).

أولاً: حل معادلات بمقامات

المثال 1: حل المعادلة: (x/2) + 3 = (x/3) + 5

الحل: نضرب الطرفين في 6 (المقام المشترك)

6 × ((x/2) + 3) = 6 × ((x/3) + 5)

3x + 18 = 2x + 30

3x – 2x = 30 – 18

x = 12

التحقق: (12/2) + 3 = 6 + 3 = 9 و (12/3) + 5 = 4 + 5 = 9 ✓

المثال 2: حل المعادلة: 2(x – 1) + 3(x + 2) = 4x + 11

الحل:

2x – 2 + 3x + 6 = 4x + 11

5x + 4 = 4x + 11

5x – 4x = 11 – 4

x = 7

التحقق: 2(7-1)+3(7+2) = 2(6)+3(9) = 12+27 = 39 و 4(7)+11 = 28+11 = 39 ✓

ثانياً: حل المتراجحات

قواعد حل المتراجحات تشبه قواعد حل المعادلات مع ملاحظة مهمة: عند ضرب أو قسمة طرفي المتراجحة على عدد سالب، تنعكس إشارة المتراجحة.

المثال 3: حل المتراجحة: 3x – 5 > 10

الحل:

3x – 5 + 5 > 10 + 5

3x > 15

x > 5

مجموعة الحلول: {x ∈ ℝ / x > 5}

المثال 4: حل المتراجحة: -2x + 4 ≥ 10

الحل:

-2x + 4 – 4 ≥ 10 – 4

-2x ≥ 6

(-2x) ÷ (-2) ≤ 6 ÷ (-2) (⚠️ نعكس الإشارة لأننا نقسم على سالب)

x ≤ -3

مجموعة الحلول: {x ∈ ℝ / x ≤ -3}

ثالثاً: تمثيل الحلول على مستقيم الأعداد

لتمثيل مجموعة حلول متراجحة على مستقيم الأعداد:

• x > a: نضع دائرة فارغة عند a ونظلل إلى اليمين

• x ≥ a: نضع دائرة مصمتة عند a ونظلل إلى اليمين

• x < b: نضع دائرة فارغة عند b ونظلل إلى اليسار
• x ≤ b: نضع دائرة مصمتة عند b ونظلل إلى اليسار

رابعاً: مسائل تطبيقية

المثال 5: يريد تاجر شراء حاسوبين ثمن الواحد 45,000 دج وطابعة. مجموع ما معه لا يتجاوز 120,000 دج. ما هو أكبر ثمن يمكن أن يدفعه للطابعة؟

الحل: نفرض ثمن الطابعة = x دج

2 × 45,000 + x ≤ 120,000

90,000 + x ≤ 120,000

x ≤ 30,000

أكبر ثمن يمكن دفعه للطابعة هو 30,000 دج

تمارين تطبيقية

1. حل المعادلات: أ) (x+1)/2 + (x-1)/3 = 5 ب) 4(x-2) – 3(2x+1) = -11
2. حل المتراجحات: أ) 5x – 7 < 3x + 9 ب) 2x + 3 ≤ 7x - 12
3. حل المتراجحة: -3x + 5 ≥ -4 و مثل مجموعة حلولها على مستقيم الأعداد
4. مستطيل طوله 12 سم وعرضه x سم. إذا كان محيطه لا يتجاوز 40 سم، فما هي قيم x الممكنة؟
5. اشترى مدير المدرسة 25 مقعداً جديداً بمبلغ لا يتجاوز 37,500 دج. ما هو أكبر ثمن للمقعد الواحد؟

نشاط منزلي

اختر مسألة من حياتك اليومية يمكن صياغتها كمتراجحة (مثال: الميزانية الشهرية، الوقت المخصص للدراسة). اكتب المتراجحة، حلها، وفسر النتيجة.

---

📍 دروس مشابهة

• النشر والتحليل — المتطابقات الشهيرة والأساليب — الرياضيات — السنة الرابعة متوسط — المنهاج الجزائري
• الدوال التآلفية — تمثيلها وخصائصها — الرياضيات — الرابعة متوسط — المنهاج الجزائري
• النسب المثلثية: الجيب وجيب التمام والظل — الرياضيات — السنة الرابعة متوسط — المنهاج الجزائري