المتراجحات من الدرجة الأولى بمجهول واحد — الرياضيات — السنة الثالثة متوسط — المنهاج الجزائري

تُعتبر المتراجحات من الدرجة الأولى بمجهول واحد من الدروس الأساسية في مادة الرياضيات للسنة الثالثة متوسط. فهي تتيح للتلميذ فهم كيفية مقارنة المقادير وحل مشكلات حياتية تتضمن حدوداً قصوى ودنيا. هذا الدرس يمهد الطريق لفهم الدوال والمتباينات في السنوات اللاحقة.

الأهداف التعليمية

• أن يتعرف التلميذ على مفهوم المتراجحة من الدرجة الأولى بمجهول واحد
• أن يميز بين المعادلة والمتراجحة
• أن يستعمل الرموز: < (أصغر من)، > (أكبر من)، ≤ (أصغر من أو يساوي)، ≥ (أكبر من أو يساوي)
• أن يحل متراجحة من الدرجة الأولى بمجهول واحد
• أن يمثل مجموعة حلول متراجحة على المستقيم العددي
• أن يوظف المتراجحات في حل مسائل حياتية

الشرح المبسط

تعريف المتراجحة: المتراجحة هي متباينة (عدم مساواة) تحتوي على مجهول (غالباً x). على سبيل المثال: 2x + 3 > 7 هي متراجحة من الدرجة الأولى بمجهول واحد x.

الرموز المستعملة:
– < تعني “أصغر من” (مثال: 3 < 5)
– > تعني “أكبر من” (مثال: 7 > 2)
– ≤ تعني “أصغر من أو يساوي” (مثال: x ≤ 4)
– ≥ تعني “أكبر من أو يساوي” (مثال: x ≥ -2)

قواعد حل المتراجحات: لحل متراجحة من الدرجة الأولى بمجهول واحد، نتبع نفس قواعد حل المعادلات مع الانتباه إلى قاعدة مهمة جداً:

القاعدة الأساسية: عندما نضرب (أو نقسم) طرفي المتراجحة في عدد سالب، فإن اتجاه إشارة المتراجحة ينعكس (يتغير).
مثال: إذا كان لدينا -2x > 6، نقسم على -2 فتصبح x < -3 (انعكست الإشارة من > إلى <).

خطوات حل متراجحة:
1. نجمع الحدود التي تحتوي على المجهول في طرف والحدود الثابتة في الطرف الآخر
2. نبسط الطرفين
3. نقسم على معامل x مع مراعاة قاعدة انعكاس الإشارة عند القسمة على عدد سالب

تمثيل الحلول على المستقيم العددي:
– إذا كان x > a: نرسم دائرة فارغة عند a ونسهم نحو اليمين (يعني: كل الأعداد الأكبر من a)
– إذا كان x ≥ a: نرسم دائرة ممتلئة (لأن a محقق) عند a ونسهم نحو اليمين
– إذا كان x < a: دائرة فارغة عند a ونسهم نحو اليسار
– إذا كان x ≤ a: دائرة ممتلئة عند a ونسهم نحو اليسار

أمثلة محلولة

المثال 1: حل متراجحة بسيطة

حل المتراجحة: 3x – 5 > 7
الحل:
3x – 5 > 7
3x > 7 + 5 (ننقل -5 إلى الطرف الثاني مع تغيير الإشارة)
3x > 12
x > 12/3 (نقسم على 3 وهو عدد موجب فلا تنعكس الإشارة)
x > 4

تمثيل الحل: المستقيم العددي من 4 إلى +∞ (دائرة فارغة عند 4 وسهم نحو اليمين).
مجموعة الحلول: S = {x ∈ IR / x > 4}

المثال 2: متراجحة مع قسمة على عدد سالب

حل المتراجحة: -2x + 1 ≤ 5
الحل:
-2x + 1 ≤ 5
-2x ≤ 5 – 1 (ننقل 1 إلى الطرف الثاني)
-2x ≤ 4
x ≥ 4/(-2) (نقسم على -2 وهو عدد سالب → تنعكس الإشارة من ≤ إلى ≥)
x ≥ -2

تمثيل الحل: المستقيم العددي من -2 إلى +∞ (دائرة ممتلئة عند -2 لأنها ≥ وسهم نحو اليمين).
مجموعة الحلول: S = {x ∈ IR / x ≥ -2}

المثال 3: متراجحة مركبة

حل المتراجحة: 5x – 3 < 2x + 9
الحل:
5x – 3 < 2x + 9
5x – 2x < 9 + 3 (ننقل الحدود: 2x إلى اليسار و -3 إلى اليمين)
3x < 12
x < 4 (نقسم على 3 وهو موجب فلا انعكاس)

مجموعة الحلول: S = {x ∈ IR / x < 4}

تمارين تطبيقية

1. حل المتراجحات التالية ومثل مجموعة حلولها على المستقيم العددي:
   أ) 2x + 7 > 3
   ب) 5x – 4 ≤ 6
   ج) -3x + 2 ≥ 11
   د) 4x – 1 < 2x + 7
2. عند خالد 1200 ديناراً. يريد شراء دفاتر ثمن كل دفتر 80 ديناراً وأقلاماً ثمن كل قلم 50 ديناراً. إذا كان يريد شراء 5 دفاتر على الأقل، فما هو أكبر عدد من الأقلام يمكنه شراؤه؟
3. مستطيل طوله (x + 5)cm وعرضه x cm. إذا كان محيط المستطيل أكبر من 30cm، فما هي قيم x الممكنة؟
4. أكمل ب < أو > أو ≤ أو ≥:
   أ) إذا كان x < 3 فإن x + 2 … 5
   ب) إذا كان x ≥ -1 فإن -2x … 2

نشاط منزلي

اختر ثلاثة مواقف من حياتك اليومية يمكن التعبير عنها بمتراجحات من الدرجة الأولى (مثل: الميزانية الأسبوعية، سرعة السيارة في الطريق، عدد ساعات المذاكرة). اكتب لكل موقف متراجحة مناسبة، ثم حلها ومثل مجموعة حلولها على المستقيم العددي. ناقش نتائجك مع أفراد أسرتك.

---

📍 دروس مشابهة

• المعادلات من الدرجة الأولى بمجهول واحد — الرياضيات للسنة الثالثة متوسط
• المثلثات ونظرية طاليس — الرياضيات — السنة الثالثة متوسط — المنهاج الجزائري