دراسة الدوال العددية: دليل شامل لمجموعة التعريف والنهايات والاشتقاق – الثالثة ثانوي (بكالوريا) رياضيات

دراسة الدوال العددية: مجموعة التعريف والنهايات والاشتقاق

تعتبر دراسة الدوال العددية من المواضيع الأساسية في بكالوريا شعبتي العلوم التجريبية والرياضيات. هذا الدرس يغطي الخطوات المنهجية لدراسة دالة عددية كاملة.

1. تعريف الدالة العددية

الدالة العددية f هي تطبيق يربط كل عدد حقيقي x (من مجموعة التعريف D_f) بعدد وحيد y = f(x). نكتب: f: x → f(x) حيث f(x) هو صورة x بالدالة f.

2. مجموعة التعريف (Domaine de définition)

مجموعة التعريف D_f هي مجموعة الأعداد الحقيقية x التي يكون f(x) منها معرفاً (عددا حقيقياً).

• حالة الدوال الحدودية (متعددة الحدود): D_f = ℝ (مثال: f(x) = x² – 3x + 1)
• حالة الدوال الناطقة (كسور): نستثني القيم التي تعدم المقام. مثال: f(x) = 1/(x-2) ← D_f = ℝ \{2}
• حالة الجذر التربيعي: ما تحت الجذر ≥ 0. مثال: f(x) = √(x-1) ← D_f = [1, +∞[
• حالة الدوال اللوغاريتمية: ما تحت اللوغاريتم > 0. مثال: f(x) = ln(x-3) ← D_f = ]3, +∞[

3. نهايات الدالة (Limites)

نهايات الدالة عند حدود مجموعة التعريف تساعدنا في تحديد سلوك الدالة:

• النهاية عند اللانهاية: lim f(x) عندما x → +∞ أو x → -∞
• النهاية عند نقطة: lim f(x) عندما x → x₀ (مهم للاتصال والاشتقاق)
• النهايات مهمة لتحديد الخطوط المقاربة (Asymptotes): مقارب أفقي، شاقولي، مائل.

4. الاشتقاق ودروس الدالة

الاشتقاق يسمح بدراسة تغيرات الدالة:

• المشتقة f'(x): تمثل معامل التوجيه للمماس في كل نقطة.
• إشارة المشتقة: f'(x) > 0 → الدالة متزايدة، f'(x) < 0 → الدالة متناقصة.
• النقاط الحرجة: f'(x) = 0 نقاط قد تكون نهايات قصوى أو دنيا محلية.
• جدول التغيرات: يلخص إشارة المشتقة واتجاه تغير الدالة.

5. تمرين بكالوريا محلول

تمرين: ادرس الدالة f(x) = x² – 4x + 3

1) مجموعة التعريف: D_f = ℝ (دالة حدودية)

2) النهايات:
lim f(x) = +∞ (عندما x → +∞)
lim f(x) = +∞ (عندما x → -∞)

3) الاشتقاق:
f'(x) = 2x – 4
f'(x) = 0 ← 2x – 4 = 0 ← x = 2
إشارة f'(x): f'(x) < 0 على ]-∞, 2[ و f'(x) > 0 على ]2, +∞[
إذن f متناقصة على ]-∞, 2] ومتزايدة على [2, +∞[
f(2) = 4 – 8 + 3 = -1 (نهاية دنيا)

4) جدول التغيرات:
x |-∞ 2 +∞
f’| – 0 +
f | +∞ → -1 → +∞

6. خلاصة

لدراسة دالة عددية نتبع الخطوات: 1) مجموعة التعريف 2) النهايات 3) المشتقة وإشارتها 4) جدول التغيرات 5) التمثيل البياني. هذه المنهجية أساسية لامتحان البكالوريا.

📍 دروس مشابهة

• النهايات والاستمرارية: شرح شامل مع تمارين بكالوريا محلولة
• المتتاليات العددية: شرح شامل مع تمارين بكالوريا محلولة