المتتاليات العددية: شرح شامل مع تمارين بكالوريا محلولة – الثالثة ثانوي (بكالوريا) رياضيات

المتتاليات العددية – الثالثة ثانوي (بكالوريا)

المتتاليات العددية هي أحد المحاور الأساسية في مادة الرياضيات لشعب العلوم التجريبية والرياضيات والتسيير والاقتصاد، وتأتي أسئلتها في امتحان البكالوريا بصيغ متنوعة. سنقدم في هذا الدرس شرحاً وافياً مع تمارين محلولة بأسلوب البكالوريا.

أهداف الدرس:

• تعريف المتتالية العددية وأنواعها
• إيجاد الحد العام لمتتالية (حسابية / هندسية)
• دراسة اتجاه التغير (التزايد، التناقص)
• حساب النهايات والمجموع

1. تعريف المتتالية العددية:

المتتالية العددية هي دالة معرفة من N نحو R. نرمز للحد العام بـ (U_n). يمكن تعريفها بطريقتين: بالصيغة الصريحة (U_n = f(n)) أو بصيغة التراجع (U_{n+1} = g(U_n)).

2. المتتالية الحسابية:

تكون (U_n) حسابية إذا وجد عدد حقيقي r (الأساس) بحيث: U_{n+1} = U_n + r. الحد العام: U_n = U_0 + n×r. المجموع: S_n = (n+1)×(U_0 + U_n)/2. مثال: U_n = 3n+2 هي حسابية أساسها r=3 وحدها الأول U_0=2.

3. المتتالية الهندسية:

تكون (U_n) هندسية إذا وجد عدد حقيقي q (الأساس) بحيث: U_{n+1} = U_n × q. الحد العام: U_n = U_0 × q^n. المجموع (q≠1): S_n = U_0 × (1−q^{n+1})/(1−q). مثال: U_n = 2×3^n هي هندسية أساسها q=3.

4. دراسة اتجاه التغير:

نفحص إشارة الفرق U_{n+1} − U_n: إذا كان >0 فالمتتالية متزايدة، إذا كان <0 فمتناقصة، إذا كان =0 فثابتة. إذا كانت جميع الحدود موجبة يمكن حساب النسبة U_{n+1}/U_n.

5. نهاية متتالية:

إذا كانت (U_n) حسابية: lim = +∞ إذا كان r>0، −∞ إذا r<0. إذا كانت (U_n) هندسية: نهاية q^n تعتمد على q (إذا كان |q|<1 فإن النهاية 0، إذا كان q>1 فإن النهاية +∞، إذا كان q≤−1 فلا نهاية).

تمرين بكالوريا محلول:

التمرين: لتكن (U_n) المعرفة بـ U_0=4 و U_{n+1}=2U_n−3. 1) احسب U_1,U_2,U_3. 2) هل هي حسابية أم هندسية؟ الحل: 1) U_1=2×4−3=5، U_2=2×5−3=7، U_3=2×7−3=11. 2) الفروق غير متساوية: 1,2,4 فليست حسابية. النسب غير متساوية: 5/4,7/5 فليست هندسية. 3) نضع V_n=U_n−3: V_{n+1}=U_{n+1}−3=2U_n−6=2(U_n−3)=2V_n، إذن (V_n) هندسية أساسها q=2 و V_0=1. 4) U_n = V_n+3 = 2^n+3.

خلاصة:

المتتاليات العددية أداة قوية في منهاج البكالوريا. تذكر التمييز بين الحسابية (الجمع) والهندسية (الضرب). تدرب على تحديد طبيعة المتتالية من خلال العلاقة بين حدودها، وتقنيات دراسة التغير والنهايات.

📍 دروس مشابهة:

• النهايات والاستمرارية: شرح شامل مع تمارين بكالوريا محلولة – الثالثة ثانوي
• الدوال اللوغاريتمية: تعريفها، خصائصها وتمارين بكالوريا محلولة – الثالثة ثانوي