المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى: شرح شامل مع تمارين بكالوريا محلولة – الثالثة ثانوي (بكالوريا) رياضيات

المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى

تعتبر المعادلات التفاضلية من أهم المفاهيم في الرياضيات لشعبتي العلوم التجريبية والرياضيات، حيث تظهر في معظم مواضيع البكالوريا. في هذا الدرس سنتعلم كيفية حل المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى بكافة أنواعها.

1. تعريف المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى

المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى هي معادلة تربط الدالة y بمشتقتها y’ (أو dy/dx) والمتغير المستقل x. الصيغة العامة: y’ = f(x, y). في منهاج البكالوريا ندرس نوعين رئيسيين:

• النوع الأول: المعادلات من الشكل y’ = a y + b (حيث a و b عددان حقيقيان)
• النوع الثاني: المعادلات من الشكل y’ = a y + f(x) (معادلات غير متجانسة)

2. حل المعادلة y’ = a y (حالة خاصة)

المعادلة: y’ = a y حيث a ∈ ℝ. الحل العام هو: y(x) = C e^{ax} حيث C ثابت حقيقي يحدد بالشروط البدائية.

مثال 1: حل المعادلة y’ – 3y = 0
الحل: y’ = 3y ← y(x) = C e^{3x}

3. حل المعادلة y’ = a y + b

المعادلة: y’ = a y + b (a ≠ 0). الحل العام: y(x) = C e^{ax} – b/a

مثال 2: حل y’ = 2y – 6 مع الشرط y(0) = 5
الحل: y(x) = C e^{2x} + 3. بتعويض x=0: y(0) = C + 3 = 5 ← C = 2
إذن: y(x) = 2 e^{2x} + 3

4. تمرين بكالوريا محلول

تمرين (بكالوريا 2020 شعبة علوم تجريبية):
نعتبر المعادلة التفاضلية (E): y’ + 2y = 4e^{-2x}

أ) حل المعادلة بدون الطرف الثاني: y’ + 2y = 0
y’ = -2y ← y₀(x) = C e^{-2x}

ب) نبحث عن حل خاص من الشكل yₚ(x) = kxe^{-2x}
yₚ'(x) = k e^{-2x} – 2k x e^{-2x} = k e^{-2x}(1 – 2x)
نعوض في (E): k e^{-2x}(1 – 2x) + 2kx e^{-2x} = 4e^{-2x}
k e^{-2x} = 4e^{-2x} ← k = 4
إذن الحل الخاص: yₚ(x) = 4x e^{-2x}

ج) الحل العام لـ (E):
y(x) = y₀(x) + yₚ(x) = C e^{-2x} + 4x e^{-2x} = (4x + C)e^{-2x}

5. خلاصة

لحل معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى من الشكل y’ = a y + b:
1. نجد حل المعادلة المتجانسة y₀(x) = C e^{ax}
2. نجد حلاً خاصاً (عادة ثابت) yₚ = -b/a (عندما a ≠ 0)
3. الحل العام: y(x) = y₀(x) + yₚ(x)
4. نستخدم الشرط البدائي لإيجاد C

📍 دروس مشابهة

• المتتاليات العددية: شرح شامل مع تمارين بكالوريا محلولة
• النهايات والاستمرارية: شرح شامل مع تمارين بكالوريا محلولة