المتتاليات الحسابية والمتتاليات الهندسية: تعريف، خصائص وتمارين محلولة – الثانية ثانوي

المتتاليات الحسابية والمتتاليات الهندسية: تعريف، خصائص وتمارين محلولة

المستوى: السنة الثانية ثانوي – مادة الرياضيات

📌 الأهداف التعليمية

• تعريف المتتالية العددية
• التمييز بين المتتالية الحسابية والهندسية
• إيجاد الحد العام والخاصية المميزة
• حساب مجموع حدود متتالية

1. التعريف

المتتالية العددية (uₙ) هي تطبيق من ℕ في ℝ.

2. المتتالية الحسابية

التعريف: uₙ₊₁ = uₙ + r (r هو الأساس)

الحد العام: uₙ = u₁ + (n – 1) × r

اتجاه التغير: r > 0 ← متزايدة، r < 0 ← متناقصة، r = 0 ← ثابتة

المجموع: Sₙ = n × (u₁ + uₙ) / 2 = n/2 × [2u₁ + (n – 1)r]

3. المتتالية الهندسية

التعريف: uₙ₊₁ = uₙ × q (q هو الأساس)

الحد العام: uₙ = u₁ × qⁿ⁻¹

اتجاه التغير: q > 1 ← متزايدة، 0 < q < 1 ← متناقصة، q < 0 ← متذبذبة

المجموع: Sₙ = u₁ × (1 – qⁿ) / (1 – q) (q ≠ 1)

4. تمارين بكالوريا

التمرين 1: متتالية حسابية u₁ = 3 و r = 4. احسب u₂, u₃, u₁₀ ومجموع أول 10 حدود.

الحل: u₂ = 7، u₃ = 11، u₁₀ = 39، S₁₀ = 5 × (3 + 39) = 210

التمرين 2: متتالية هندسية v₁ = 2 و q = 3. احسب v₂, v₃, v₅ و S₅.

الحل: v₂ = 6، v₃ = 18، v₅ = 162، S₅ = 2 × (1 – 3⁵) / (1 – 3) = 242

📝 الخلاصة

المتتاليات الحسابية تعتمد على الجمع الثابت والهندسية على الضرب الثابت. فهم خصائص كل نوع يسهل التعامل مع المسائل التطبيقية.