التباديل والتوافيق وقوانين الاحتمال: شرح شامل مع تمارين بكالوريا محلولة — الثالثة ثانوي (بكالوريا) — الرياضيات

📘 مقدمة

التباديل (Permutations) والتوافيق (Combinations) هما مفهومان أساسيان في الرياضيات المنفصلة ونظرية الاحتمالات. يستخدمان لحساب عدد الطرق الممكنة لترتيب أو اختيار عناصر من مجموعة ما. هذه المفاهيم ضرورية لحل مسائل الاحتمالات والإحصاء في امتحان البكالوريا.

🎯 الأهداف

• التمييز بين التباديل والتوافيق
• حساب عدد التباديل والتوافيق باستخدام القوانين
• تطبيق مبدأ العد الأساسي (الضرب والجمع)
• حل مسائل بكالوريا في الاحتمالات باستخدام التباديل والتوافيق

📚 مبدأ العد الأساسي

مبدأ الضرب: إذا كان لدينا k من الاختيارات المتتالية، عدد الخيارات = n₁ × n₂ × … × n_k
مثال: إذا كان لديك 3 قمصان و 2 سروال، عدد الأزياء الممكنة = 3 × 2 = 6.

مبدأ الجمع: إذا كان لدينا حدثان متنافيان، عدد الطرق = n(A) + n(B).

🔄 التباديل (Permutations)

تبديل مجموعة كاملة:

عدد طرق ترتيب n من العناصر المختلفة ترتيباً كاملاً = n! (مضروب n)
مثال: عدد طرق ترتيب 5 كتب على رف = 5! = 5×4×3×2×1 = 120 طريقة.

تبديل p من n (P(n,p)):

عدد طرق ترتيب p من العناصر المأخوذة من n عنصراً، حيث الترتيب مهم:
P(n, p) = n! / (n-p)!
مثال: عدد طرق ترتيب 3 كتب من أصل 7 في رف = P(7,3) = 7! / 4! = 7×6×5 = 210.

📦 التوافيق (Combinations)

عدد طرق اختيار p من العناصر من n عنصراً، حيث الترتيب غير مهم:
C(n, p) = n! / [p! × (n-p)!]
مثال: عدد طرق اختيار 3 طلاب من أصل 10 = C(10,3) = 10!/(3!×7!) = (10×9×8)/(3×2×1) = 120.

📊 الفرق بين التباديل والتوافيق

المعيار	التباديل (Permutations)	التوافيق (Combinations)
الترتيب	مهم	غير مهم
القانون	P(n,p) = n!/(n-p)!	C(n,p) = n!/(p!(n-p)!)
مثال	ترتيب الكتب	اختيار فريق

✏️ تمارين بكالوريا محلولة

التمرين 01:

كم عدد الطرق لتشكيل لجنة من 4 طلاب من أصل 8 طلاب؟

الحل: الترتيب غير مهم ← توافيق
C(8,4) = 8!/(4!×4!) = (8×7×6×5)/(4×3×2×1) = 1680/24 = 70 طريقة

التمرين 02 (بكالوريا):

صندوق يحتوي على 6 كرات حمراء و 4 زرقاء. نسحب 3 كرات عشوائياً. ما احتمال أن تكون الكرات المسحوبة كلها حمراء؟

الحل:
عدد الطرق الكلية لسحب 3 كرات من 10: C(10,3) = 120
عدد الطرق لسحب 3 كرات حمراء من 6: C(6,3) = 20
الاحتمال = 20/120 = 1/6

التمرين 03:

بكم طريقة يمكن ترتيب 5 أشخاص على مقاعد في صف واحد إذا كان شخصان محددان يجب أن يجلسا معاً؟

الحل: نعتبر الشخصين معاً ككتلة واحدة ← لدينا 4 عناصر (الكتلة + 3 أشخاص) = 4! = 24
الشخصان يمكن ترتيبهما داخل الكتلة بـ 2! = 2
العدد الكلي = 24 × 2 = 48 طريقة

📋 الخلاصة

• التباديل: الترتيب مهم (أي تغيير في الترتيب يعطي نتيجة جديدة)
• التوافيق: الترتيب غير مهم (الاختيار فقط)
• مبدأ الضرب لحساب عدد الاحتمالات في التجارب المتتالية
• مبدأ الجمع للتجارب المنفصلة
• إتقان حساب المضروب (!) أساسي لنجاح في البكالوريا

📍 دروس مشابهة

• الاحتمالات الشرطية وقانون بايز
• الجداء المتجهي والجداء المختلط في الفضاء