الرياضيات — الأعداد العقدية: الشكل المثلثي والشكل الأسي — الثالثة ثانوي (بكالوريا) – شعبة علوم تجريبية — المنهاج الجزائري

الأعداد العقدية: الشكل المثلثي والشكل الأسي

الأعداد العقدية (Nombres complexes) هي أعداد على شكل z = a + ib حيث a و b عددان حقيقيان و i هي الوحدة التخيلية (i² = -1). يمكن تمثيل العدد العقدي بعدة أشكال: الديكارتي، المثلثي، والأسي.

الشكل الديكارتي (Forme algébrique)

z = a + ib حيث a = Re(z) (الجزء الحقيقي) و b = Im(z) (الجزء التخيلي).

الشكل المثلثي (Forme trigonométrique)

لكل عدد عقدي غير معدوم، نكتب: z = r × (cos θ + i sin θ)

• المقياس (Module): r = |z| = √(a² + b²)
• العمدة (Argument): θ = Arg(z) حيث cos θ = a/r و sin θ = b/r

الشكل الأسي (Forme exponentielle)

باستخدام صيغة أويلر (Euler): e^(iθ) = cos θ + i sin θ
نكتب: z = r × e^(iθ)

عمليات على الأعداد العقدية

• الضرب: r₁e^(iθ₁) × r₂e^(iθ₂) = r₁r₂ × e^(i(θ₁+θ₂))
• القسمة: r₁e^(iθ₁) / r₂e^(iθ₂) = (r₁/r₂) × e^(i(θ₁-θ₂))
• صيغة موافر (Moivre): (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ)

تمارين تطبيقية

التمرين 1: العدد العقدي z = 1 + i√3. احسب مقياسه وعمدته ثم اكتبه بالشكلين المثلثي والأسي.

التمرين 2: احسب (1 + i)⁶ باستخدام صيغة موافر.

التمرين 3: حل في ℂ المعادلة z² + z + 1 = 0.

للمزيد من المعلومات، راجع درس دراسة الدوال العددية ودرس الدوال الأسية.

📍 دروس مشابهة

• الرياضيات — الدوال المثلثية: الدالتان sin و cos — الثانية ثانوي (شعب علمية) — المنهاج الجزائري
• الرياضيات — المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى — الثالثة ثانوي (بكالوريا) – شعبة علوم تجريبية — المنهاج الجزائري