الرياضيات — التوزيعات الاحتمالية: قانون برنولي وقانون ذي الحدين — الثالثة ثانوي (بكالوريا) – شعبة علوم تجريبية — المنهاج الجزائري

التوزيعات الاحتمالية: برنولي وذي الحدين

التوزيعات الاحتمالية (Lois de probabilité) هي نماذج رياضية تصف احتمالات النتائج المختلفة لتجربة عشوائية. من أهم التوزيعات: توزيع برنولي (Bernoulli) وتوزيع ذي الحدين (Binômiale).

تجربة برنولي (Épreuve de Bernoulli)

تجربة عشوائية لها نتيجتان فقط: نجاح (Succès) باحتمال p وفشل (Échec) باحتمال q = 1 – p. متغير برنولي X يأخذ القيمة 1 للنجاح و 0 للفشل. أمثلة: رمي قطعة نقد (صورة/كتابة)، فحص منتج (صالح/معيب).

خصائص توزيع برنولي

E(X) = p (الأمل الرياضي). V(X) = p(1-p) = pq (التباين). σ(X) = √(pq) (الانحراف المعياري).

توزيع ذي الحدين (Loi binômiale)

عند تكرار تجربة برنولي n مرة بشكل مستقل، فإن عدد مرات النجاح S_n يتبع توزيع ذي الحدين: S_n ~ B(n, p). احتمال الحصول على k نجاحاً:
P(S_n = k) = C(n,k) × p^k × q^(n-k)
حيث C(n,k) = n!/(k!(n-k)!) هو عدد التوافيق.

خصائص توزيع ذي الحدين

E(X) = n × p. V(X) = n × p × q. σ = √(n × p × q). إذا كان n كبيراً و p < 0.5، يقترب التوزيع من توزيع بواسون.

تمارين تطبيقية

التمرين 1: نرمي قطعة نقد 10 مرات. ما احتمال الحصول على 6 مرات صورة بالضبط؟ (p = 0.5)

التمرين 2: مصنع ينتج قطعاً بنسبة 5% معيبة. نسحب 20 قطعة عشوائياً. ما احتمال وجود قطعتين معيبتين على الأكثر؟

التمرين 3: امتحان من 10 أسئلة، كل سؤال له 4 اختيارات. يجيب طالب عشوائياً. ما احتمال أن يجيب على 7 أسئلة على الأقل بشكل صحيح؟

للمزيد من المعلومات، راجع درس الاحتمالات: مفهومها وقوانينها الأساسية ودرس التباديل والتوافيق وقوانين الاحتمال.

📍 دروس مشابهة

• الرياضيات — الدوال المثلثية: الدالتان sin و cos — الثانية ثانوي (شعب علمية) — المنهاج الجزائري
• الرياضيات — المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى — الثالثة ثانوي (بكالوريا) – شعبة علوم تجريبية — المنهاج الجزائري