الرياضيات — دراسة الدوال: منهجية كاملة — الثالثة ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

دراسة الدوال هي مهارة أساسية في البكالوريا. المنهجية المنظمة تساعد في تحليل أي دالة بشكل كامل.

1. خطوات دراسة الدالة

الخطوة 1 – مجموعة التعريف: نحدد مجال تعريف الدالة Df.

الخطوة 2 – الاشتقاقية: نحسب المشتقة f'(x) ونحدد مجال اشتقاق الدالة.

الخطوة 3 – إشارة المشتقة: ندرس إشارة f'(x) باستخدام جدول الإشارة.

الخطوة 4 – رتابة الدالة: نحدد intervals التزايد والتناقص.

الخطوة 5 – جدول التغيرات: ننشئ جدولاً يلخص تغيرات الدالة.

الخطوة 6 – النهايات: نحسب النهايات عند حدود المجال.

الخطوة 7 – الخطوط المقاربة: نبحث عن المقاربات الأفقية والعامودية والمائلة.

الخطوة 8 – التمثيل البياني: نرسم منحنى الدالة.

2. مثال تطبيقي كامل

لتكن f(x) = (x^2 + 1)/(x-1).

مجموعة التعريف: Df = R – {1}.

النهايات: lim_{x->+inf} f(x) = +inf, lim_{x->-inf} f(x) = -inf, lim_{x->1+} f(x) = +inf, lim_{x->1-} f(x) = -inf.

المشتقة: f'(x) = (2x(x-1) – (x^2+1))/(x-1)^2 = (x^2 – 2x – 1)/(x-1)^2.

إشارة المشتقة: بحل x^2 – 2x – 1 = 0 نحصل على x = 1 – sqrt(2) = -0.41 و x = 1 + sqrt(2) = 2.41. f’ موجبة على ]-inf, -0.41[ و ]2.41, +inf[ وسالبة على ]-0.41, 1[ و ]1, 2.41[.

جدول التغيرات: f متزايدة على ]-inf, -0.41]، متناقصة على [-0.41, 1[ و ]1, 2.41]، متزايدة على [2.41, +inf[.

المقاربات: x = 1 مقارب عمودي. lim f(x)/x = 1, lim (f(x) – x) = 1 إذن y = x+1 مقارب مائل.

3. مثال بكالوريا

بكالوريا 2022 (شعبة علوم تجريبية): ادرس الدالة f(x) = ln(x^2 + 1).

الحل: Df = R. f'(x) = 2x/(x^2+1). f’ موجبة على ]0, +inf[ وسالبة على ]-inf, 0[. f متناقصة على ]-inf, 0] ومتزايدة على [0, +inf[. lim_{x->+inf} f(x) = +inf, lim_{x->-inf} f(x) = +inf. f(0) = 0 نقطة minimum.