الرياضيات — القسمة الإقليدية والموافقات: أساسيات — الثالثة ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

القسمة الإقليدية والموافقات (المودولو) هي مفاهيم أساسية في نظرية الأعداد. تستخدم في التشفير والمعلوميات.

1. القسمة الإقليدية في Z

لكل عددين صحيحين a و b حيث b != 0، يوجد عددان صحيحان وحيدان q (الخارج) و r (الباقي) بحيث: a = b.q + r مع 0 <= r < |b|.

مثال: 17 قسمة 5: 17 = 5×3 + 2. q = 3, r = 2.

مثال: -17 قسمة 5: -17 = 5x(-4) + 3. q = -4, r = 3. (ملاحظة: الباقي دائماً موجب).

2. الموافقات (المودولو)

نقول أن a يوافق b بترديد n ونكتب a = b (mod n) إذا كان n يقسم (a-b). أي a – b = k.n حيث k عدد صحيح.

بمعنى آخر، a = b (mod n) يعني أن a و b لهما نفس الباقي في القسمة الإقليدية على n.

3. خصائص الموافقات

إذا كان a = b (mod n) و c = d (mod n) فإن:

• a + c = b + d (mod n).
• a – c = b – d (mod n).
• a x c = b x d (mod n).
• a^k = b^k (mod n) لكل k in N.

4. تطبيقات مهمة

حساب بواقي القسمة: ما هو باقي قسمة 7^100 على 5؟

نلاحظ أن 7 = 2 (mod 5). 7^2 = 4 (mod 5). 7^4 = 1 (mod 5) لأن 4^2 = 16 = 1 (mod 5).

100 = 4×25. إذن 7^100 = (7^4)^25 = 1^25 = 1 (mod 5). الباقي هو 1.

5. مثال بكالوريا

بكالوريا 2021 (شعبة علوم تجريبية): عين بواقي قسمة الأعداد التالية على 7: 2^10, 3^10, 5^10.

الحل:

2^3 = 8 = 1 (mod 7). 2^10 = 2^(3×3+1) = (2^3)^3 x 2 = 1^3 x 2 = 2 (mod 7). الباقي 2.

3^6 = 729 = 7×104 + 1 = 1 (mod 7). 3^10 = 3^(6+4) = 1 x 3^4 = 81 = 7×11 + 4 = 4 (mod 7). الباقي 4.

5 = -2 (mod 7). 5^2 = 4 (mod 7). 5^3 = -8 = -1 (mod 7). 5^6 = 1 (mod 7). 5^10 = 5^6 x 5^4 = 1 x (5^2)^2 = 4^2 = 16 = 2 (mod 7). الباقي 2.

6. تمارين تطبيقية

بين أن n^2 – n يقبل القسمة على 2 لكل n عدد طبيعي.

حل المعادلة: 2x = 3 (mod 5) في Z.