الرياضيات — الدوال العددية: تعريف وتمثيل — الأولى ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

تعتبر الدوال العددية من المفاهيم الأساسية في الرياضيات والتي تمكننا من وصف العلاقات بين الكميات المختلفة. في هذا الدرس، سنتعرف على مفهوم الدالة العددية، مجالات تعريفها، وكيفية تمثيلها بيانياً.

1. مفهوم الدالة العددية

الدالة العددية f هي قاعدة تربط كل عدد حقيقي x من مجموعة انطلاق D_f بعدد حقيقي وحيد y = f(x). نكتب: f: D_f → ℝ, x ↦ f(x). مجموعة D_f تسمى مجموعة التعريف (أو مجال التعريف) للدالة f.

2. مجموعة التعريف

مجموعة تعريف دالة f هي مجموعة الأعداد الحقيقية x التي تكون f(x) معرفة لها. لحساب مجموعة التعريف، نراعي الشروط التالية:

• إذا كانت f دالة كسرية (بها مقام)، نستثني الأعداد التي تجعل المقام مساوياً للصفر.
• إذا كانت f دالة جذرية (جذر زوجي)، نطلب أن يكون ما تحت الجذر أكبر أو يساوي الصفر.

مثال: f(x) = 1/(x-2). مجموعة التعريف: D_f = ℝ \ {2} لأن x-2 = 0 ⇒ x = 2.

مثال: f(x) = √(x-3). مجموعة التعريف: D_f = [3, +∞[ لأن x-3 ≥ 0 ⇒ x ≥ 3.

3. التمثيل البياني لدالة

التمثيل البياني (C_f) لدالة f في معلم متعامد هو مجموعة النقط M(x, f(x)) حيث x ∈ D_f. لإنشاء التمثيل البياني، ننشئ جدول قيم ونضع النقط في المعلم ثم نوصل بينها.

4. الصور المميزة للدوال الأساسية

الدالة الخطية: f(x) = ax, a ≠ 0. تمثيلها البياني مستقيم يمر من المبدأ O(0,0).

الدالة التآلفية: f(x) = ax + b. تمثيلها البياني مستقيم يقطع محور التراتيب في النقطة (0, b).

دالة المربع: f(x) = x². تمثيلها البياني قطع مكافئ رأسه المبدأ.

دالة الجذر التربيعي: f(x) = √x. مجموعة تعريفها [0, +∞[.

دالة المقلوب: f(x) = 1/x. مجموعة تعريفها ℝ*.

5. مثال بكالوريا

بكالوريا 2021 (شعبة علوم تجريبية): لتكن f(x) = √(2x-4).
أ(1) عين مجموعة تعريف الدالة f.
(2) احسب صور الأعداد: 2, 3, 4, 6.
(3) مثل f بيانياً في معلم متعامد.
الحل:
(1) 2x-4 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2. إذن D_f = [2, +∞[.
(2) f(2) = √0 = 0, f(3) = √2, f(4) = √4 = 2, f(6) = √8 = 2√2 ≈ 2.83.
(3) ننشئ جدول القيم: x=2→y=0, x=3→y≈1.41, x=4→y=2, x=6→y≈2.83. نضع النقط ونصل بينها نحصل على منحنى دالة الجذر التربيعي المزاح.

6. تمارين تطبيقية

تمرين 1: عين مجموعة تعريف الدوال التالية:
f(x) = (x+1)/(x-3), g(x) = √(5-x), h(x) = 2/(x²-4).

تمرين 2: لتكن f(x) = x² – 2x + 1. احسب f(0), f(1), f(2), f(-1) ثم مثل f بيانياً.