الرياضيات — الدالة العكسية: تعريفها وطريقة حسابها — الثالثة ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

درس في الرياضيات مخصص لتلاميذ السنة الثالثة ثانوي شعبة علوم تجريبية حول الدالة العكسية. المحتوى يتبع المنهاج الرسمي الجزائري ويساعد في التحضير لبكالوريا 2026 من خلال أمثلة وتمارين محلولة.

المحتوى النظري

إذا كانت الدالة f متصلة ورتيبة قطعا على مجال I، فإنها تقابل من I نحو f(I). تقبل دالة عكسية f⁻¹ معرفة على f(I) نحو I بحيث: لكل x ∈ I, f⁻¹(f(x)) = x ولكل y ∈ f(I), f(f⁻¹(y)) = y.

خاصيات الدالة العكسية:

1. الدالة العكسية f⁻¹ متصلة ورتيبة على f(I) بنفس رتابة f.

2. منحنى الدالة f⁻¹ هو مماثل منحنى f بالنسبة للمستقيم y = x.

3. (f⁻¹)⁽ᵗ⁾(x) = 1/f⁽ᵗ⁾(f⁻¹(x)).

حساب الدالة العكسية: لحساب f⁻¹(y) نضع y = f(x) ونحل المعادلة بالنسبة لـ x.

القواعد الأساسية

لإيجاد الدالة العكسية لدالة f:

1. نتأكد أن f متصلة ورتيبة قطعا على مجال I (شرط وجود دالة عكسية).

2. نكتب y = f(x) ثم نحل المعادلة لإيجاد x بدلالة y.

3. الدالة المحصلة هي f⁻¹(y) = x(y).

4. مجال تعريف f⁻¹ هو مدى f والعكس صحيح.

5. ملاحظة: الدالتان f و f⁻¹ متناظرتان بالنسبة للمستقيم y = x.

تمارين بكالوريا

تمرين 1 (بكالوريا 2022):

لتكن f دالة معرفة على [1, +∞[ بـ: f(x) = x² – 2x + 2.

1) بين أن f تقبل دالة عكسية f⁻¹ على مجال يحدده.

2) أحسب f⁻¹(x).

الحل: f(x) = (x-1)² + 1. الدالة f متصلة ورتيبة تزايدية قطعا على [1, +∞[ لأن f₍₁₎ = 1 و f تزايدية. إذن f تقابل من [1, +∞[ نحو [1, +∞[. لحساب f⁻¹: y = x² – 2x + 2 → x² – 2x + 2 – y = 0 → x = 1 + √(y-1) لأن x ≥ 1. إذن f⁻¹(x) = 1 + √(x-1).

تمرين 2 (بكالوريا 2023):

لتكن g دالة معرفة على R بـ: g(x) = x³ + 1. بين أن g تقبل دالة عكسية وأوجدها.

الحل: g متصلة على R و g₍ₓ₎ = 3x² ≥ 0 و g تزايدية قطعا على R (لأن g₍ₓ₎ = 0 فقط عند x=0). إذن g تقابل من R نحو R. لحساب g⁻¹: y = x³ + 1 → x³ = y – 1 → x = ∛(y-1). إذن g⁻¹(x) = ∛(x-1).

📍 دروس مشابهة

• الرياضيات — النهايات: حساب النهايات والعمليات عليها
• الاشتقاقية – تمارين تطبيقية – الثانية ثانوي