التكامل — مفهومه وطرق حسابه وتطبيقاته — السنة الثالثة ثانوي (بكالوريا) — شعبة علوم تجريبية — الرياضيات — المنهاج الجزائري

التكامل — مفهومه وطرق حسابه وتطبيقاته — السنة الثالثة ثانوي (بكالوريا) — شعبة علوم تجريبية — الرياضيات — المنهاج الجزائري

التكامل هو عملية رياضية تكمّل الاشتقاق، ويستخدم لحساب المساحات والحجوم وأطوال المنحنيات. هذا الدرس موجه لتلاميذ السنة الثالثة ثانوي شعبة علوم تجريبية استعداداً للبكالوريا.

أولاً: مفهوم الدوال الأصلية (Primitives)

F(x) دالة أصلية لـ f(x) على مجال I إذا كانت F'(x) = f(x) لكل x ∈ I.

الدوال الأصلية للدوال الأساسية:

• f(x) = xⁿ ⇒ F(x) = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ −1)
• f(x) = 1/x ⇒ F(x) = ln|x| + C
• f(x) = e^x ⇒ F(x) = e^x + C
• f(x) = cos(x) ⇒ F(x) = sin(x) + C
• f(x) = sin(x) ⇒ F(x) = −cos(x) + C

ثانياً: التكامل المحدود (Intégrale définie)

إذا كانت F دالة أصلية لـ f على [a, b] فإن التكامل المحدود من a إلى b هو:

∫_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) − F(a)

ثالثاً: خصائص التكامل

• ∫_a^b f(x) dx = −∫_b^a f(x) dx
• ∫_a^b k×f(x) dx = k×∫_a^b f(x) dx
• ∫_a^b (f + g)(x) dx = ∫_a^b f(x) dx + ∫_a^b g(x) dx
• ∫_a^b f(x) dx = ∫_a^c f(x) dx + ∫_c^b f(x) dx (علاقة شال)

رابعاً: التكامل والمساحة

المساحة المحصورة بين منحني الدالة f(x) والمحور x من a إلى b هي: S = ∫_a^b |f(x)| dx

المساحة المحصورة بين منحنيتي دالتين f و g على المجال [a, b] هي: S = ∫_a^b |f(x) − g(x)| dx

خامساً: التكامل بالجزء (Intégration par parties)

∫_a^b u(x) × v'(x) dx = [u(x) × v(x)]_a^b − ∫_a^b u'(x) × v(x) dx

سادساً: مثال بكالوريا

خلاصة

التكامل أداة رياضية قوية تستخدم في الفيزياء (حساب المسافة من السرعة، الشغل)، والاقتصاد، والهندسة. وهو موضوع أساسي في بكالوريا الشعب العلمية.

دروس مشابهة

• نكت وطرائف ومواقف في الرياضيات
• محفظة استاذ الرياضيات للتعليم المتوسط — تحديث 2026
• الجداء المتصالب (الضرب التبادلي) في التناسبية — مفهومه وتطبيقاته في حل المسائل —