حل مسائل كلامية باستخدام المعادلات من الدرجة الأولى — تطبيقات مع أمثلة وتمارين محلولة — الرياضيات — السنة الثالثة متوسط — المنهاج الجزائري

مقدمة: المعادلات من الدرجة الأولى بمجهول واحد

المعادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد هي علاقة رياضية من الشكل: ax + b = 0 (حيث a ≠ 0).

حل المعادلة يعني إيجاد قيمة x التي تحقق المساواة.

تطبيقات المعادلات في حل المسائل الكلامية

لحل مسألة كلامية باستخدام المعادلة، اتبع الخطوات التالية:

1. اختيار المجهول: نحدد المطلوب ونسند له رمزاً (عادة x)
2. صياغة المعادلة: نترجم المعطيات في المسألة إلى علاقة رياضية
3. حل المعادلة: نوجد قيمة x
4. التحقق: نتحقق من صحة الحل
5. صياغة الجواب: نكتب النتيجة النهائية

أمثلة محلولة

مثال 1: مسألة عمرية

عمر أحمد ضعف عمر سارة، وبعد 5 سنوات سيصبح مجموع عمريهما 40 سنة. ما عمر كل منهما الآن؟
الحل:
نفرض أن عمر سارة = x سنة، إذن عمر أحمد = 2x سنة.
بعد 5 سنوات: عمر سارة = x + 5، عمر أحمد = 2x + 5
المعادلة: (x + 5) + (2x + 5) = 40
3x + 10 = 40
3x = 30
x = 10
عمر سارة = 10 سنوات، عمر أحمد = 20 سنة
(التحقق: بعد 5 سنوات: 15 + 25 = 40 ✓)

مثال 2: مسألة عددية

مجموع ثلاثة أعداد صحيحة متتالية يساوي 72. ما هي هذه الأعداد؟
الحل:
نفرض الأعداد: x, x+1, x+2
المعادلة: x + (x+1) + (x+2) = 72
3x + 3 = 72
3x = 69
x = 23
الأعداد هي: 23، 24، 25
(التحقق: 23 + 24 + 25 = 72 ✓)

مثال 3: مسألة اقتصادية

اشترى تاجر سلعة بمبلغ معين، وباعها بمبلغ 2400 دينار محققاً ربحاً قدره 20% من ثمن الشراء. ما هو ثمن شراء السلعة؟
الحل:
نفرض أن ثمن الشراء = x ديناراً
الربح = 20% من x = 0.20x
ثمن البيع = ثمن الشراء + الربح
x + 0.20x = 2400
1.20x = 2400
x = 2400/1.20 = 2000
ثمن الشراء = 2000 دينار
(التحقق: 2000 + 0.20 × 2000 = 2000 + 400 = 2400 ✓)

تمارين محلولة

التمرين 1: مسألة أطوال

مستطيل طوله يزيد عن عرضه بـ 5 cm. إذا كان محيطه يساوي 54 cm. أحسب طول وعرض هذا المستطيل.
الحل:
نفرض العرض = x cm، إذن الطول = x + 5 cm
محيط المستطيل = 2(الطول + العرض)
2(x + 5 + x) = 54
2(2x + 5) = 54
4x + 10 = 54
4x = 44
x = 11
العرض = 11 cm، الطول = 16 cm
(التحقق: 2(16 + 11) = 2 × 27 = 54 ✓)

التمرين 2: مسألة نقود

مع محمد 120 ديناراً، ومع علي 80 ديناراً. كم ديناراً يجب أن يعطي محمد لعلي حتى يصبح ما مع علي ضعف ما مع محمد؟
الحل:
نفرض أن محمد يعطي x ديناراً لعلي.
بعد الإعطاء: مع محمد = 120 – x، مع علي = 80 + x
المعادلة: 80 + x = 2(120 – x)
80 + x = 240 – 2x
x + 2x = 240 – 80
3x = 160
x = 160/3 ≈ 53.33
يجب أن يعطي محمد 53.33 ديناراً تقريباً لعلي.

التمرين 3: مسألة سرعة ومسافة

انطلق سائق من المدينة A إلى المدينة B بسرعة 60 km/h. وفي نفس الوقت، انطلق سائق آخر من B إلى A بسرعة 80 km/h. إذا كانت المسافة بين المدينتين 280 km، بعد كم ساعة يلتقي السائقان؟
الحل:
المسافة = السرعة × الزمن
نفرض أن زمن اللقاء = t ساعة
المسافة التي قطعها الأول = 60t
المسافة التي قطعها الثاني = 80t
مجموع المسافتين = المسافة الكلية
60t + 80t = 280
140t = 280
t = 2
يلتقي السائقان بعد ساعتين.

خلاصة الدرس

• نترجم المسألة الكلامية إلى معادلة رياضية
• نحدد المجهول ونفرضه (عادة x)
• نكتب العلاقات الرياضية الموصوفة في المسألة
• نحل المعادلة بطريقة عزل المجهول
• نتحقق من صحة الحل بتعويضه في المعادلة الأصلية
• نصيغ الجواب النهائي بوضوح

📍 دروس مشابهة

• الجذور التربيعية — تعريفها وخواصها وحسابها مع أمثلة وتمارين — الرياضيات — السنة
• الإزاحة (الانسحاب) في المستوى — العلاقة بين الإزاحة والمتجهات وخصائصها مع أمثلة
• النشر والتحليل باستعمال المتطابقات الشهيرة — تمارين شاملة — الرياضيات — السنة ال