الأعداد الأولية والتفكيك إلى عوامل أولية — PGCD و PPCM مع أمثلة وتمارين محلولة — الرياضيات — السنة الثانية متوسط — المنهاج الجزائري

مفهوم العدد الأولي

العدد الأولي هو عدد طبيعي أكبر من 1 يقبل القسمة على 1 وعلى نفسه فقط. بعبارة أخرى: ليس له قواسم غير 1 ونفسه.

أمثلة: 2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23، 29، 31، …

التفكيك إلى عوامل أولية

تفكيك عدد طبيعي إلى عوامل أولية يعني كتابته على شكل جداء أعداد أولية. نستخدم طريقة القسمة المتتالية على الأعداد الأولية.

خطوات التفكيك:

1. نبدأ بقسمة العدد على أصغر عدد أولي ممكن (2 أو 3 أو 5…)
2. نواصل القسمة على الأعداد الأولية حتى نحصل على 1
3. نكتب العدد كجداء الأعداد الأولية التي استعملناها

أمثلة على التفكيك

مثال 1: تفكيك العدد 60

العملية	القسمة على	الناتج
60 ÷ 2	2	30
30 ÷ 2	2	15
15 ÷ 3	3	5
5 ÷ 5	5	1

إذن: 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5

مثال 2: تفكيك العدد 84

العملية	القسمة على	الناتج
84 ÷ 2	2	42
42 ÷ 2	2	21
21 ÷ 3	3	7
7 ÷ 7	7	1

إذن: 84 = 2² × 3 × 7

مثال 3: تفكيك العدد 45

45 ÷ 3 = 15
15 ÷ 3 = 5
5 ÷ 5 = 1
45 = 3² × 5

تطبيقات التفكيك إلى عوامل أولية

1. إيجاد القاسم المشترك الأكبر (PGCD)

لإيجاد PGCD لعددين، نفكك كلاً منهما إلى عوامل أولية، ثم نأخذ جداء العوامل المشتركة بأصغر أس.

مثال: PGCD(60, 84)
60 = 2² × 3 × 5
84 = 2² × 3 × 7
PGCD = 2² × 3 = 12

2. إيجاد المضاعف المشترك الأصغر (PPCM)

نأخذ جداء العوامل المشتركة وغير المشتركة بأكبر أس.

مثال: PPCM(60, 84)
60 = 2² × 3 × 5
84 = 2² × 3 × 7
PPCM = 2² × 3 × 5 × 7 = 420

تمارين محلولة

التمرين 1:

فكك الأعداد التالية إلى عوامل أولية: 36، 75، 126
الحل:
36 = 2² × 3²
75 = 3 × 5²
126 = 2 × 3² × 7

التمرين 2:

أحسب PGCD و PPCM للعددين 36 و 75.
الحل:
36 = 2² × 3²
75 = 3 × 5²
PGCD = 3 (العامل المشترك الوحيد)
PPCM = 2² × 3² × 5² = 4 × 9 × 25 = 900

التمرين 3:

بين أن العدد 97 هو عدد أولي.
الحل:
نتحقق من عدم قابلية القسمة على الأعداد الأولية الأصغر من جذر 97 (≈ 9.85):
97 ÷ 2 = 48.5 (غير صحيح)
97 ÷ 3 = 32.33 (غير صحيح)
97 ÷ 5 = 19.4 (غير صحيح)
97 ÷ 7 = 13.85 (غير صحيح)
إذن 97 عدد أولي.

خلاصة الدرس

• العدد الأولي: عدد طبيعي > 1 يقبل القسمة على 1 ونفسه فقط
• الأعداد الأولية الأولى: 2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23…
• التفكيك: كتابة العدد كجداء أعداد أولية
• للتفكيك: نقسم العدد على الأعداد الأولية بالتتابع
• نستعمل التفكيك لحساب PGCD و PPCM بطريقة سهلة