الرياضيات — نهايات الدوال العددية: مفهوم النهاية والعمليات عليها وحالات عدم التعيين مع تمارين بكالوريا محلولة — الثانية ثانوي — المنهاج الجزائري

الأهداف التعليمية

• التعرف على مفهوم نهاية دالة عند نقطة وعند اللانهاية
• فهم العمليات على النهايات (الجمع، الضرب، القسمة)
• إتقان طرق رفع حالات عدم التعيين
• تطبيق القواعد في تمارين بكالوريا محلولة

شرح الدرس

1. تعريف النهاية

نهاية دالة f(x) لما x يؤول إلى a هي القيمة التي تقترب منها f(x) كلما اقترب x من a (من اليسار أو من اليمين). نكتب: lim_{x→a} f(x) = L.

2. نهايات الدوال الأساسية

• lim_{x→+∞} xⁿ = +∞ (حيث n عدد طبيعي)
• lim_{x→-∞} xⁿ = +∞ إذا كان n زوجياً، -∞ إذا كان n فردياً
• lim_{x→±∞} 1/xⁿ = 0 (حيث n > 0)
• lim_{x→+∞} √x = +∞
• lim_{x→0⁺} 1/x = +∞
• lim_{x→0⁻} 1/x = -∞

3. العمليات على النهايات

إذا كانت lim f(x) = L و lim g(x) = M (أو ±∞):

• lim [f(x) + g(x)] = L + M
• lim [f(x) × g(x)] = L × M
• lim [f(x) / g(x)] = L / M (إذا M ≠ 0)
• lim [k × f(x)] = k × L

4. حالات عدم التعيين

الحالات التالية تسمى حالات عدم تعيين وتحتاج إلى طرق خاصة لحلها:

• ∞ – ∞ (فرق كميتين لانهائيتين)
• 0/0 (قسمة صفر على صفر)
• ∞/∞ (قسمة لانهائي على لانهائي)
• 0 × ∞ (ضرب صفر في لانهائي)

5. طرق رفع حالات عدم التعيين

• حالة ∞/∞ في دوال حدودية: نأخذ أعلى قوة (الحد ذو الدرجة الأكبر) كعامل مشترك
• حالة 0/0 في دوال حدودية: نحلل البسط والمقام إلى عوامل ونختصر
• حالة ∞/∞ في الدوال الناطقة: نقسم البسط والمقام على أعلى قوة للمتغير
• حالة ∞ – ∞: نضرب في المرافق إذا كان هناك جذور

أمثلة محلولة

المثال 1: lim_{x→+∞} (3x² – 5x + 2) / (2x² + x – 1)

الحل: هذه حالة ∞/∞. نقسم البسط والمقام على x² (أعلى قوة):

lim_{x→+∞} (3 – 5/x + 2/x²) / (2 + 1/x – 1/x²) = 3/2

(لأن 5/x → 0 و 2/x² → 0 و 1/x → 0)

المثال 2: lim_{x→2} (x² – 4) / (x – 2)

الحل: حالة 0/0. نحلل البسط: x² – 4 = (x – 2)(x + 2)

lim_{x→2} ((x – 2)(x + 2)) / (x – 2) = lim_{x→2} (x + 2) = 4

المثال 3: lim_{x→+∞} (√(x² + 1) – x)

الحل: حالة ∞ – ∞. نضرب في المرافق:

(√(x² + 1) – x) × (√(x² + 1) + x) / (√(x² + 1) + x)

= (x² + 1 – x²) / (√(x² + 1) + x) = 1 / (√(x² + 1) + x)

lim_{x→+∞} 1 / (√(x² + 1) + x) = 0

تمارين وحلول (بأسلوب البكالوريا)

التمرين 1: احسب النهايات التالية

1. lim_{x→1} (x² – 3x + 2) / (x – 1)

نحلل البسط: x² – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2)

lim_{x→1} ((x – 1)(x – 2)) / (x – 1) = lim_{x→1} (x – 2) = -1

2. lim_{x→+∞} (4x³ – 2x + 1) / (x³ + x² – 3)

نقسم على x³: lim (4 – 2/x² + 1/x³) / (1 + 1/x – 3/x³) = 4/1 = 4

3. lim_{x→0} sin(3x) / x

نكتب: sin(3x)/x = 3 × sin(3x)/(3x) → 3 × 1 = 3 (باستعمال النهاية الأساسية lim_{t→0} sin(t)/t = 1)

دروس مشابهة

• النهايات (مقدمة): شرح شامل مع تمارين محلولة — الأولى ثانوي
• دراسة الدوال العددية: مجموعة التعريف والتغيرات والتمثيل البياني — الأولى ثانوي