القوى في الرياضيات — مفهوم القوة وأسس العدد 10 وقواعد الحساب مع الأسس الصحيحة الموجبة والسالبة — الرياضيات — السنة الرابعة متوسط — المنهاج الجزائري

مقدمة

القوى في الرياضيات هي طريقة مختصرة لكتابة جداء عدد في نفسه عدة مرات. تستخدم القوى في العديد من المجالات العلمية: الفيزياء (قوى العدد 10 لكتابة الأعداد الكبيرة جداً والصغيرة جداً)، الكيمياء، الفلك، والهندسة. في هذا الدرس سنتعرف على مفهوم القوة وقواعد حسابها.

أهداف الدرس

• تعريف القوة وتمييز الأساس عن الأس.
• حساب القوى ذات الأسس الموجبة والسالبة.
• استخدام قواعد الحساب على القوى.
• كتابة الأعداد العلمية باستعمال قوى العدد 10.

1. مفهوم القوة

نكتب: aⁿ حيث a هو الأساس و n هو الأس.

تعريف: إذا كان n عدداً طبيعياً أكبر من 1 فإن: aⁿ = a × a × a × … × a (n من المرات)

مثال: 2³ = 2 × 2 × 2 = 8

مثال: 5² = 5 × 5 = 25

2. حالات خاصة

القاعدة	الشرح	مثال
a¹ = a	الأس 1 يعطي العدد نفسه	7¹ = 7
a⁰ = 1	الأس 0 يعطي 1 (a ≠ 0)	5⁰ = 1
0ⁿ = 0	0 مرفوع لأي قوة = 0	0⁵ = 0
1ⁿ = 1	1 مرفوع لأي قوة = 1	1⁸ = 1

3. الأس السالب

تعريف: a⁻ⁿ = 1 / aⁿ (حيث a ≠ 0)

مثال: 2⁻³ = 1 / 2³ = 1 / 8 = 0,125

مثال: 10⁻² = 1 / 10² = 1 / 100 = 0,01

4. قواعد الحساب على القوى

القاعدة	الصيغة	مثال
ضرب القوى ذات الأساس نفسه	aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ	2³ × 2² = 2⁵ = 32
قسمة القوى ذات الأساس نفسه	aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ	5⁵ ÷ 5² = 5³ = 125
قوة القوة	(aᵐ)ⁿ = aᵐ×ⁿ	(3²)³ = 3⁶ = 729
قوة الجداء	(a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ	(2 × 3)² = 4 × 9 = 36
قوة الخارج	(a ÷ b)ⁿ = aⁿ ÷ bⁿ	(4 ÷ 2)³ = 64 ÷ 8 = 8

5. قوى العدد 10

تستخدم قوى العدد 10 لكتابة الأعداد الكبيرة جداً والصغيرة جداً بطريقة مختصرة تسمى الكتابة العلمية.

الأس	القيمة	الكتابة العشرية
10⁶	1 000 000	مليون
10³	1 000	ألف
10²	100	مئة
10¹	10	عشرة
10⁰	1	واحد
10⁻¹	0,1	عشر
10⁻²	0,01	جزء من مئة
10⁻³	0,001	جزء من ألف

6. الكتابة العلمية

الكتابة العلمية لعدد هي: a × 10ⁿ حيث 1 ≤ a < 10 و n عدد صحيح.

مثال: 300 000 = 3 × 10⁵

مثال: 0,00045 = 4,5 × 10⁻⁴

تمارين محلولة

التمرين 1:

احسب: A = 2³ × 2⁵ ÷ 2⁴

الحل: 2³ × 2⁵ = 2⁸، 2⁸ ÷ 2⁴ = 2⁴ = 16

التمرين 2:

اكتب بالكتابة العلمية: 12 500 000

الحل: 1,25 × 10⁷

التمرين 3:

بسط: (2x²)³ × x⁴

الحل: 2³ × x⁶ × x⁴ = 8 × x¹⁰ = 8x¹⁰

خلاصة

• aⁿ = a × a × … × a (n مرة).
• a⁻ⁿ = 1 / aⁿ.
• aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ، aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ.
• (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ، (a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ.
• الكتابة العلمية: a × 10ⁿ حيث 1 ≤ a < 10.

دروس مشابهة

• الدوال الخطية والدوال التآلفية — الرياضيات — السنة الرابعة متوسط
• المعادلات من الدرجة الأولى — الرياضيات — السنة الرابعة متوسط