النسب المثلثية في المثلث القائم — جيب الزاوية وجيب التمام والظل — تعريفاتها وعلاقاتها وتطبيقاتها — الرياضيات — السنة الثالثة متوسط — المنهاج الجزائري

مقدمة

النسب المثلثية هي مفاهيم أساسية في الرياضيات تربط بين أضلاع المثلث القائم وزواياه. تستخدم في مجالات عديدة: الهندسة، الملاحة، الفلك، العمارة، وغيرها. في هذا الدرس سنتعرف على النسب المثلثية الثلاث الأساسية: جيب الزاوية (Sinus)، جيب التمام (Cosinus)، والظل (Tangente).

أهداف الدرس

• التعرف على النسب المثلثية في المثلث القائم.
• حساب جيب الزاوية وجيب التمام والظل.
• استخدام العلاقات بين النسب المثلثية.
• تطبيق النسب المثلثية في حل مسائل عملية.

1. تعريف المثلث القائم

المثلث القائم هو مثلث له زاوية قائمة (قياسها 90°). في المثلث القائم:

• الوتر: الضلع المقابل للزاوية القائمة، وهو أطول أضلاع المثلث.
• المقابل: الضلع المقابل للزاوية الحادة.
• المجاور: الضلع المجاور للزاوية الحادة (وليس الوتر).

الزاوية	الضلع المقابل	الضلع المجاور	الوتر
الزاوية A	BC (المقابل)	AC (المجاور)	AB
الزاوية B	AC (المقابل)	BC (المجاور)	AB

2. النسب المثلثية الثلاث

أ. جيب الزاوية (Sinus)

جيب الزاوية يساوي: طول الضلع المقابل ÷ طول الوتر

sin(Â) = (الضلع المقابل للزاوية A) / (الوتر)

ب. جيب التمام (Cosinus)

جيب التمام للزاوية يساوي: طول الضلع المجاور ÷ طول الوتر

cos(Â) = (الضلع المجاور للزاوية A) / (الوتر)

ج. الظل (Tangente)

ظل الزاوية يساوي: طول الضلع المقابل ÷ طول الضلع المجاور

tan(Â) = (الضلع المقابل للزاوية A) / (الضلع المجاور للزاوية A)

3. علاقة أساسية

العلاقة المثلثية الأساسية: sin²(Â) + cos²(Â) = 1

وهناك أيضاً: tan(Â) = sin(Â) / cos(Â)

4. مثال تطبيقي

مثلث قائم في C، حيث AC = 3 cm، BC = 4 cm، AB = 5 cm. احسب sin(A)، cos(A)، tan(A).

النسبة	الحساب	النتيجة
sin(A)	المقابل (BC) ÷ الوتر (AB) = 4 ÷ 5	0,8
cos(A)	المجاور (AC) ÷ الوتر (AB) = 3 ÷ 5	0,6
tan(A)	المقابل (BC) ÷ المجاور (AC) = 4 ÷ 3	1,333…

تمارين محلولة

التمرين 1:

مثلث قائم في B، AB = 6 cm، BC = 8 cm. احسب AC ثم احسب sin(C)، cos(C)، tan(C).

الحل:

• نظرية فيثاغورس: AC² = AB² + BC² = 36 + 64 = 100 → AC = √100 = 10 cm
• sin(C) = المقابل (AB) ÷ الوتر (AC) = 6 ÷ 10 = 0,6
• cos(C) = المجاور (BC) ÷ الوتر (AC) = 8 ÷ 10 = 0,8
• tan(C) = المقابل (AB) ÷ المجاور (BC) = 6 ÷ 8 = 0,75

التمرين 2:

إذا كان sin(x) = 0,6 في مثلث قائم، احسب cos(x) مستخدماً العلاقة الأساسية.

الحل:

sin²(x) + cos²(x) = 1 → (0,6)² + cos²(x) = 1 → 0,36 + cos²(x) = 1 → cos²(x) = 0,64 → cos(x) = 0,8 (القيمة الموجبة لأن الزاوية حادة)

خلاصة

• النسب المثلثية تربط بين أضلاع المثلث القائم وزواياه.
• الوتر هو أطول ضلع (مقابل الزاوية القائمة).
• sin(Â) = المقابل ÷ الوتر، cos(Â) = المجاور ÷ الوتر، tan(Â) = المقابل ÷ المجاور.
• sin² + cos² = 1 (العلاقة الأساسية).

دروس مشابهة

• الترتيب والعمليات على الأعداد النسبية — الرياضيات — السنة الثالثة متوسط
• التناسبية في الرياضيات — الرياضيات — السنة الثالثة متوسط