الاشتقاق: تعريف الدالة المشتقة وخصائصها وتطبيقاتها مع تمارين بكالوريا محلولة — الرياضيات — الثانية ثانوي — المنهاج الجزائري

الاشتقاق: تعريف الدالة المشتقة وخصائصها وتطبيقاتها

📌 الأهداف التعليمية:

• تعريف عدد المشتق ودالة مشتقة
• حساب مشتقات الدوال الاعتيادية
• تطبيق الاشتقاق في دراسة تغيرات الدوال
• تحديد معادلة المماس في نقطة

📖 الشرح النظري:

1. تعريف عدد المشتق:
نقول إن الدالة f قابلة للاشتقاق عند x₀ إذا كانت النهاية lim (f(x) − f(x₀)) / (x − x₀) موجودة ومنتهية عندما x → x₀. يسمى هذا العدد المشتق f′(x₀).

2. الدالة المشتقة:
الدالة التي تربط كل عدد x بمشتقه f′(x).

3. مشتقات الدوال الاعتيادية:
– (c)′ = 0 (c ثابت)
– (xⁿ)′ = nxⁿ⁻¹
– (√x)′ = 1 / 2√x
– (sin x)′ = cos x
– (cos x)′ = −sin x

4. عمليات على المشتقات:
– (u + v)′ = u′ + v′
– (k·u)′ = k·u′
– (u × v)′ = u′v + uv′
– (u/v)′ = (u′v − uv′) / v²

5. معادلة المماس:
معادلة المماس لمنحنى الدالة f عند النقطة (x₀, f(x₀)) هي:
y = f′(x₀)(x − x₀) + f(x₀)

📝 مثال تطبيقي:

احسب مشتقة f(x) = 3x² − 2x + 5
f′(x) = 3×2x − 2 = 6x − 2

📝 تمارين محلولة:

التمرين 1: أوجد معادلة المماس لمنحنى f(x) = x² عند النقطة x₀ = 1.
الحل: f(1) = 1، f′(x) = 2x → f′(1) = 2
المعادلة: y = 2(x − 1) + 1 = 2x − 1

التمرين 2: ادرس تغيرات الدالة f(x) = x³ − 3x + 2.
الحل: f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1)
f′ ≥ 0 على ]−∞, −1] ∪ [1, +∞[ → f متزايدة
f′ ≤ 0 على [−1, 1] → f متناقصة

🔗 دروس مشابهة:

• النهايات والاستمرارية: حساب النهايات
• الدوال الأسية: تعريف وخصائص