موضوع امتحان بكالوريا 2022 في الرياضيات مع الحل – شعبة علوم تجريبية

📌 التمرين الأول (05 نقاط)

نعتبر الدالة f المعرفة على ℝ بـ:

f(x) = ln(1 + x²)

1. ادرس اتجاه تغير الدالة f.
2. احسب lim_x→−∞ f(x) و lim_x→+∞ f(x).
3. بين أن المعادلة f(x) = 1 تقبل حلين في ℝ.
4. احسب ∫₀¹ f(x) dx باستعمال التكامل بالتجزئة.

📌 التمرين الثاني (05 نقاط)

المتتالية (u_n) المعرفة بـ:

u₀ = 1 و u_n+1 = (2u_n + 3) / (u_n + 4)

1. بين أن 0 ≤ u_n ≤ 1 لكل n ∈ ℕ.
2. ادرس رتابة المتتالية.
3. بين أنها متقاربة وأوجد نهايتها ℓ.

📌 التمرين الثالث (05 نقاط)

نعتبر في الفضاء المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم (O; i→, j→, k→) النقط:

A(1, 2, 0), B(3, 1, −1), C(2, 0, 3)

1. بين أن A, B, C تحدد مستوياً.
2. أوجد معادلة ديكارتية للمستوى (ABC).
3. أوجد المسافة بين D(0,1,−2) والمستوى (ABC).

📌 التمرين الرابع (05 نقاط)

صندوق يحتوي على 10 كريات: 4 حمراء، 3 خضراء، 3 زرقاء. نسحب عشوائياً 3 كريات في آن واحد.

1. عدد السحوبات الممكنة؟
2. احسب احتمال الحصول على ثلاث كريات مختلفة الألوان.
3. احسب احتمال الحصول على كريتين حمراوين على الأقل.
4. نعتبر X المتغير العشوائي الذي يساوي عدد الكريات الحمراء. عين قانون احتمال X.

🔹 حل التمرين الأول

1. اتجاه التغير: f′(x) = 2x/(1+x²). الإشارة: موجبة على ]0, +∞[ وسالبة على ]−∞, 0[. f متناقصة على ]−∞, 0] ومتزايدة على [0, +∞[.
2. النهايات: lim_x→±∞ ln(1+x²) = +∞، f(0) = 0
3. المعادلة f(x)=1: f(0)=0، f(±∞)=+∞، وبما أن f مستمرة ورتيبة على كل فرع، يوجد حل وحيد على ]−∞, 0[ وآخر على ]0, +∞[.
4. التكامل: ∫₀¹ ln(1+x²) dx = [x ln(1+x²)]₀¹ − ∫₀¹ (2x²)/(1+x²) dx = ln 2 − 2∫₀¹ (1−1/(1+x²)) dx = ln 2 − 2[x−arctan x]₀¹ = ln 2 − 2 + π/2

🔹 حل التمرين الثاني

1. بالترجع: u₀=1 ✓، نفرض 0≤u_n≤1 ⇒ u_n+1=(2u_n+3)/(u_n+4) حيث φ(x)=(2x+3)/(x+4) متزايدة، φ(0)=3/4، φ(1)=5/5=1 ⇒ 0.75≤u_n+1≤1 ✓
2. u_n+1−u_n = (−u_n²+2u_n+3)/(u_n+4). البسط: −(u_n−3)(u_n+1) ≥ 0 لأن u_n∈[0,1]. إذن المتتالية متزايدة.
3. متزايدة ومحدودة من الأعلى بـ 1 ⇒ متقاربة. ℓ = (2ℓ+3)/(ℓ+4) ⇒ ℓ²+4ℓ=2ℓ+3 ⇒ ℓ²+2ℓ−3=0 ⇒ ℓ=1 أو ℓ=−3. ℓ≥0 ⇒ ℓ=1

🔹 حل التمرين الثالث

1. AB→=(2,−1,−1), AC→=(1,−2,3) غير مرتبطين خطياً ⇒ تحدد مستوياً.
2. المتجهة n→ = AB→∧AC→ = (−5, −7, −3) أو n→=(5,7,3). المعادلة: 5x+7y+3z+d=0. بالتعويض A: 5+14+0+d=0 ⇒ d=−19. إذن: 5x+7y+3z−19=0
3. d(D,P) = |0+7−6−19|/√(25+49+9) = |−18|/√83 = 18/√83

🔹 حل التمرين الرابع

1. عدد السحوبات: C₁₀³ = 120
2. P(مختلفة) = (C₄¹×C₃¹×C₃¹)/120 = 36/120 = 3/10
3. P(حمراوين على الأقل) = P(X=2)+P(X=3) = (C₄²×C₆¹ + C₄³)/120 = (6×6+4)/120 = 40/120 = 1/3
4. قانون X: P(X=0)=C₆³/120=20/120, P(X=1)=C₄¹×C₆²/120=60/120, P(X=2)=C₄²×C₆¹/120=36/120, P(X=3)=C₄³/120=4/120