النهايات والاستمرارية: قوانين النهايات وحالات عدم التعيين مع تمارين بكالوريا محلولة — الثالثة ثانوي — رياضيات — المنهاج الجزائري

درس: النهايات والاستمرارية — قوانين النهايات وأنواعها مع تمارين بكالوريا محلولة

المستوى: الثالثة ثانوي (بكالوريا) — شعبة علوم تجريبية + تقني رياضي | المادة: الرياضيات

---

أهداف الدرس:

• فهم مفهوم نهاية دالة عند نقطة وعند اللانهاية.
• حساب النهايات باستخدام القوانين الجبرية.
• حل حالات عدم التعيين (0/0، ∞/∞، ∞-∞).
• تطبيق مفهوم الاستمرارية.

أولا: مفهوم النهاية

نهاية دالة f عند a: هي القيمة L التي تؤول إليها f(x) عندما تؤول x إلى a. نكتب: lim_{x→a} f(x) = L.

النهايات عند اللانهاية:

• lim_{x→+∞} x = +∞
• lim_{x→-∞} x = -∞
• lim_{x→+∞} 1/x = 0
• lim_{x→+∞} x² = +∞
• lim_{x→+∞} √x = +∞

ثانيا: قوانين النهايات

إذا تحقق: lim f(x) = L و lim g(x) = M (حيث L و M أعداد حقيقية أو ∞)، فإن:

• lim (f + g)(x) = L + M
• lim (f × g)(x) = L × M
• lim (f/g)(x) = L/M (بشرط M ≠ 0)
• lim (k×f)(x) = k×L

ثالثا: حالات عدم التعيين

من حالات عدم التعيين الشائعة: 0/0، ∞/∞، 0×∞، ∞-∞.

طرق رفع عدم التعيين:

• التحليل إلى عوامل: لرفع 0/0 في الدوال الكسرية.
• الضرب في المرافق: للدوال التي تحتوي على جذور.
• قسمة البسط والمقام على أعلى قوة: لرفع ∞/∞.

رابعا: الاستمرارية

تعريف: دالة f متصلة عند نقطة a إذا تحقق: lim_{x→a} f(x) = f(a).

الاستمرارية على مجال: الدالة متصلة على مجال إذا كانت متصلة عند كل نقطة من المجال.

نظرية القيم المتوسطة: إذا كانت f متصلة على [a ; b] و f(a) × f(b) < 0، فإن المعادلة f(x) = 0 تقبل حلا وحيدا في ]a ; b[.

تمارين بكالوريا محلولة:

التمرين 1 (بكالوريا 2021 علوم تجريبية): احسب النهايات التالية:

أ) lim_{x→2} (3x² – 5x + 1)
ب) lim_{x→+∞} (2x² – 3x + 1)

الحل:
أ) بالتعويض المباشر: f(2) = 3(4) – 5(2) + 1 = 12 – 10 + 1 = 3
ب) lim (2x² – 3x + 1) = lim 2x² = +∞ (لأن 2x² هو الحد الأعلى درجة)

التمرين 2 (بكالوريا): احسب: lim_{x→3} (x² – 9)/(x – 3)

الحل: حالة 0/0. نحلل البسط: x² – 9 = (x-3)(x+3). إذن: lim_{x→3} (x-3)(x+3)/(x-3) = lim_{x→3} (x+3) = 3 + 3 = 6.

التمرين 3 (بكالوريا): ادرس استمرارية الدالة f(x) = (x² – 4)/(x – 2) عند x = 2 مع إمكانية تمديدها بالاستمرارية.

الحل: الدالة غير معرفة عند x = 2 لأن المقام ينعدم. لكن: lim_{x→2} f(x) = lim_{x→2} (x-2)(x+2)/(x-2) = lim_{x→2} (x+2) = 4. إذن يمكن تمديد الدالة بالاستمرارية عند x = 2 بوضع f(2) = 4.

التمرين 4 (بكالوريا): بين أن المعادلة x³ – 3x + 1 = 0 تقبل حلا وحيدا في [1 ; 2].

الحل: الدالة f(x) = x³ – 3x + 1 متصلة على [1 ; 2]. f(1) = 1 – 3 + 1 = -1، f(2) = 8 – 6 + 1 = 3. f(1) × f(2) = (-1) × 3 = -3 < 0. إذن حسب نظرية القيم المتوسطة، المعادلة f(x) = 0 تقبل حلا وحيدا في ]1 ; 2[.

روابط مفيدة:

• الدوال العددية — الثانية ثانوي
• الدوال الأسية واللوغاريتمية — الثانية ثانوي

الدرس من إعداد أستاذ الثانوي القوي — المنهاج الجزائري — جميع الحقوق محفوظة Dz-Onec.com