الإشتقاق: تعريف المشتقة وقواعد الاشتقاق – الرياضيات — السنة الثانية ثانوي (شعبة علوم تجريبية) — المنهاج الجزائري

الإشتقاق: تعريف المشتقة وقواعد الاشتقاق

الإشتقاق (Differentiation) هو أحد فروع التفاضل والتكامل، ويهتم بدراسة معدل تغير الدوال. المشتقة تمثل ميل المماس لمنحنى الدالة عند نقطة معينة، ولها تطبيقات واسعة في الفيزياء والهندسة والاقتصاد.

تعريف المشتقة

مشتقة الدالة f عند النقطة x₀ هي نهاية نسبة التغير:
f'(x₀) = lim(h→0) [f(x₀ + h) – f(x₀)] / h
إذا كانت هذه النهاية موجودة ومنتهية، نقول أن الدالة f قابلة للاشتقاق عند x₀.

التفسير الهندسي

المشتقة f'(x₀) تمثل ميل المماس لمنحنى الدالة f عند النقطة (x₀, f(x₀)). معادلة المماس عند هذه النقطة:
y – f(x₀) = f'(x₀)(x – x₀)
كما أن المشتقة تمثل السرعة اللحظية إذا كانت الدالة تمثل المسافة بدلالة الزمن.

قواعد الاشتقاق الأساسية

• مشتقة الثابت: (c)’ = 0.
• مشتقة x: (x)’ = 1.
• مشتقة xⁿ: (xⁿ)’ = n × xⁿ⁻¹.
• مشتقة الجمع: (u + v)’ = u’ + v’.
• مشتقة الجداء: (u × v)’ = u’v + uv’.
• مشتقة خارج القسمة: (u/v)’ = (u’v – uv’) / v².
• مشتقة مركب دالتين: (g ∘ f)’ = f’ × g’∘ f.

مشتقات الدوال الأساسية

• (sin x)’ = cos x
• (cos x)’ = -sin x
• (eˣ)’ = eˣ
• (ln x)’ = 1/x (لـ x > 0)
• (tan x)’ = 1/cos² x = 1 + tan² x

تطبيقات المشتقة

• اتجاه تغير الدالة: إذا كانت f'(x) > 0 فالدالة متزايدة، وإذا كانت f'(x) < 0 فالدالة متناقصة.
• القيم القصوى: النقاط التي تكون فيها f'(x) = 0 هي نقاط حرجة (قصوى أو دنيا محلية).
• سرعة وتسارع: إذا كانت s(t) دالة المسافة، فالسرعة v(t) = s'(t) والتسارع a(t) = s”(t).

مثال تطبيقي

احسب مشتقة الدالة f(x) = 3x² + 5x – 2 عند x = 2:
f'(x) = 3×2x + 5 = 6x + 5
f'(2) = 6×2 + 5 = 12 + 5 = 17
إذن ميل المماس عند النقطة x = 2 هو 17.

تمارين

1. احسب مشتقة الدوال التالية: f(x) = x⁵ – 3x³ + 2x – 7, g(x) = (2x+1)(x²-3).
2. أوجد معادلة المماس لمنحنى f(x) = x² – 4x عند النقطة x = 3.
3. ادرس اتجاه تغير الدالة f(x) = x³ – 3x² + 1.
4. جسم يتحرك حسب المعادلة s(t) = t³ – 6t² + 9t (t بالثواني، s بالأمتار). أوجد سرعته وتسارعه عند t = 2 ثانية.

للمزيد من الدروس العلمية، راجع درس البيئة الصحراوية: تكيفات الكائنات الحية، كما يمكنك الاطلاع على التلوث وأنواعه وتأثيره على الصحة والبيئة.