المصفوفات: العمليات على المصفوفات – الرياضيات — السنة الثالثة ثانوي (شعبة علوم تجريبية) — المنهاج الجزائري

المصفوفات: العمليات على المصفوفات

المصفوفة (Matrix) هي ترتيب مستطيل للأعداد على شكل صفوف وأعمدة. تستخدم المصفوفات في حل أنظمة المعادلات الخطية، وفي الرسوميات الحاسوبية، وفي الاقتصاد والفيزياء والهندسة.

تعريف المصفوفة

مصفوفة من النمط m × n هي جدول مستطيل من الأعداد يتكون من m صفاً و n عموداً. نكتب عادة:
A = [aᵢⱼ] حيث i رقم الصف (1 ≤ i ≤ m) و j رقم العمود (1 ≤ j ≤ n).

أنواع المصفوفات

• مصفوفة مربعة: عدد الصفوف = عدد الأعمدة (m = n).
• مصفوفة صفرية: جميع عناصرها أصفار.
• مصفوفة وحدة (Identity): مصفوفة مربعة عناصر قطرها الرئيسي 1 وباقي العناصر 0.
• مصفوفة قطرية: جميع عناصرها صفر باستثناء عناصر القطر الرئيسي.
• مصفوفة عمود: n = 1 (عمود واحد).
• مصفوفة صف: m = 1 (صف واحد).

العمليات على المصفوفات

الجمع والطرح: تجمع (أو تطرح) المصفوفات ذات النمط نفسه عن طريق جمع (أو طرح) العناصر المتناظرة.
الضرب في عدد حقيقي: نضرب كل عنصر في العدد.
ضرب المصفوفات: إذا كانت A من النمط m×n و B من النمط n×p، فإن جداء A×B هو مصفوفة من النمط m×p حيث العنصر (i,j) = Σ(Aᵢₖ × Bₖⱼ).

منفذ المصفوفة (Determinant)

منفذ المصفوفة المربعة هو عدد يمثل خصائص معينة للمصفوفة. لمصفوفة 2×2:
det(A) = ad – bc إذا كانت A = [[a,b],[c,d]].
إذا كان det(A) ≠ 0، فالمصفوفة قابلة للعكس (لها نظير).

مثال تطبيقي

لتكن A = [[1, 2], [3, 4]] و B = [[5, 6], [7, 8]]:
1. A + B = [[6, 8], [10, 12]].
2. 2A = [[2, 4], [6, 8]].
3. A × B: العنصر (1,1) = 1×5 + 2×7 = 19, (1,2) = 1×6 + 2×8 = 22, (2,1) = 3×5 + 4×7 = 43, (2,2) = 3×6 + 4×8 = 50. النتيجة: [[19, 22], [43, 50]].
4. det(A) = 1×4 – 2×3 = 4 – 6 = -2.

حل نظام معادلات بالمصفوفات

النظام: 2x + 3y = 8, x – y = -1 يكتب على شكل A × X = B حيث:
A = [[2, 3], [1, -1]], X = [[x], [y]], B = [[8], [-1]].
الحل: X = A⁻¹ × B.

تمارين

1. احسب A + B و A – B و 3A للمصفوفات A = [[4, -2], [1, 5]] و B = [[-1, 3], [2, 0]].
2. احسب جداء المصفوفات: [[2, 1], [0, 3]] × [[4, 5], [1, -2]].
3. احسب منفذ المصفوفة A = [[3, 5], [2, 4]]. هل المصفوفة قابلة للعكس؟
4. حل النظام التالي باستخدام المصفوفات: 3x + 2y = 12, 4x – y = 5.

للمزيد من الدروس العلمية، راجع درس البيئة المائية: الكائنات الحية في الماء، كما يمكنك الاطلاع على التوازن البيئي والعوامل المؤثرة فيه.