المتتاليات الهندسية: الحد العام والمجموع – الرياضيات — السنة الثانية ثانوي (شعبة علوم تجريبية) — المنهاج الجزائري

المتتاليات الهندسية: الحد العام والمجموع

المتتالية الهندسية (Geometric Sequence) هي متتالية عددية يكون فيها كل حد مساوياً للحد السابق مضروباً في عدد ثابت يسمى الأساس (q). للمتتاليات الهندسية تطبيقات مهمة في النمو السكاني والفوائد المركبة والاضمحلال الإشعاعي.

تعريف المتتالية الهندسية

نقول أن (Uₙ) متتالية هندسية إذا وجد عدد حقيقي q ثابت بحيث:
Uₙ₊₁ = Uₙ × q
حيث q هو أساس المتتالية الهندسية (Common Ratio).

الحد العام للمتتالية الهندسية

إذا كان الحد الأول U₀ والأساس q، فإن الحد العام:
Uₙ = U₀ × qⁿ
وإذا كان الحد الأول هو U₁:
Uₙ = U₁ × qⁿ⁻¹

مثال: متتالية هندسية حدها الأول U₀ = 3 وأساسها q = 2:
U₁ = 3×2 = 6, U₂ = 3×4 = 12, U₃ = 3×8 = 24, …

اتجاه تغير المتتالية الهندسية

• إذا كان q > 1 و U₀ > 0: المتتالية متزايدة.
• إذا كان 0 < q < 1 و U₀ > 0: المتتالية متناقصة.
• إذا كان q < 0: المتتالية متذبذبة (تتغير الإشارة).
• إذا كان q = 1: المتتالية ثابتة.

مجموع حدود متتالية هندسية

مجموع أول n حداً من متتالية هندسية (بدءاً من U₀):
Sₙ = U₀ × (1 – qⁿ) / (1 – q) عندما q ≠ 1.
عندما q = 1: Sₙ = (n+1) × U₀.

مثال تطبيقي

متتالية هندسية حدها الأول U₁ = 5 وأساسها q = 3. احسب U₅ ومجموع الحدود الخمسة الأولى:
1. U₅ = U₁ × q⁴ = 5 × 3⁴ = 5 × 81 = 405.
2. S₅ = U₁ × (1 – q⁵) / (1 – q) = 5 × (1 – 3⁵) / (1 – 3) = 5 × (1 – 243) / (-2) = 5 × (-242) / (-2) = 5 × 121 = 605.
(تحقق: 5 + 15 + 45 + 135 + 405 = 605).

التطبيقات: الفائدة المركبة

إذا أودع شخص 100,000 دج في بنك بمعدل فائدة مركبة سنوية 5%، فالمبلغ بعد n سنة يكون: Mₙ = 100,000 × (1.05)ⁿ. هذه متتالية هندسية أساسها q = 1.05.

تمارين

1. متتالية هندسية حدها الأول 2 وأساسها 4. احسب U₄ ومجموع الحدود الخمسة الأولى.
2. متتالية هندسية حيث U₂ = 12 و U₅ = 96. احسب الحد الأول والأساس.
3. استثمار قيمته 50,000 دج بمعدل فائدة مركبة 8% سنوياً. احسب قيمته بعد 5 سنوات.
4. قارن بين المتتالية الحسابية والمتتالية الهندسية من حيث تعريفهما وحدّهما العام ومجموعهما.

للمزيد من الدروس العلمية، راجع درس البيئة الصحراوية: تكيفات الكائنات الحية، كما يمكنك الاطلاع على التلوث وأنواعه وتأثيره على الصحة والبيئة.