الدوال التآلفية: تمثيلها وخصائصها – الرياضيات — السنة الأولى ثانوي (جذع مشترك علوم وتكنولوجيا) — المنهاج الجزائري

الدوال التآلفية: تمثيلها وخصائصها

الدالة التآلفية (Affine Function) هي أحد أهم أنواع الدوال في الرياضيات، وتكتب على الشكل f(x) = ax + b حيث a و b عددان حقيقيان. تمثل بيانياً بخط مستقيم، ولها تطبيقات واسعة في الفيزياء والاقتصاد والهندسة.

تعريف الدالة التآلفية

دالة تآلفية هي دالة معرفة على مجموعة الأعداد الحقيقية ℝ وتحقق:
f(x) = ax + b
حيث:
– a هو معامل التوجيه (المنحدر)، ويحدد اتجاه المستقيم.
– b هو ترتيب الأصل، ويحدد نقطة تقاطع المستقيم مع محور التراتيب (Oy).

حالات خاصة

• إذا كان a = 0، تصبح الدالة ثابتة: f(x) = b (مستقيم أفقي).
• إذا كان b = 0، تصبح الدالة خطية (تناسب طردي): f(x) = ax.

تحديد معامل التوجيه

إذا علمت نقطتان (x₁, y₁) و (x₂, y₂) تنتميان إلى المستقيم، فإن:
a = (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁)
معامل التوجيه يمثل نسبة التغير في f(x) إلى التغير في x. فوائده:
– إذا كان a > 0، الدالة متزايدة (المستقيم صاعد).
– إذا كان a < 0، الدالة متناقصة (المستقيم نازل).
– قيمة a المطلقة تحدد درجة الانحدار (كلما زادت |a| زاد الانحدار).

تمثيل الدالة التآلفية بيانياً

لرسم دالة تآلفية f(x) = ax + b:
1. نحدد نقطة تقاطعها مع محور التراتيب: (0, b).
2. نحدد نقطة أخرى: نختار قيمة x ونحسب f(x).
3. نصل النقطتين بخط مستقيم.

مثال تطبيقي

لتكن الدالة f(x) = 2x + 3:
– معامل التوجيه a = 2 > 0، إذن الدالة متزايدة.
– ترتيب الأصل b = 3.
– نقطة التقاطع مع محور التراتيب: (0, 3).
– نقطة أخرى: عندما x = 1, f(1) = 2×1 + 3 = 5، أي (1, 5).
– نقطة التقاطع مع محور الفواصل: 2x + 3 = 0 → x = -1.5، أي (-1.5, 0).

إشارة الدالة التآلفية

لدراسة إشارة f(x) = ax + b:
– جذر الدالة: x₀ = -b/a (حل المعادلة ax + b = 0).
– إذا كان a > 0: f(x) < 0 عندما x < x₀، و f(x) > 0 عندما x > x₀.
– إذا كان a < 0: f(x) > 0 عندما x < x₀، و f(x) < 0 عندما x > x₀.

تمارين

1. لتكن الدالة f(x) = -3x + 6. ادرس اتجاه التغير، واحسب الجذر، وارسم التمثيل البياني.
2. حدد الدالة التآلفية التي تمر من النقطتين A(2, 5) و B(4, 9).
3. حل المتراجحة f(x) ≥ 0 حيث f(x) = 4x – 8.
4. استعمال الدوال التآلفية: إذا كان ثابت الاشتراك في نادٍ رياضي 2000 دينار وثمن الحصة 500 دينار، اكتب الدالة التي تمثل التكلفة الكلية بدلالة عدد الحصص x.

للمزيد من دروس الرياضيات، راجع درس النظام البيئي: مكوناته وتوازنه، كما يمكنك الاطلاع على التوازن البيئي والعوامل المؤثرة فيه.