درس الأعداد الأولية والأعداد المركبة – الرياضيات – السنة الخامسة إبتدائي – المنهاج الجزائري

الأعداد الأولية والأعداد المركبة

الأعداد الطبيعية تقسم إلى ثلاثة أنواع: الأعداد الأولية، الأعداد المركبة، والعدد 1. في هذا الدرس سنتعرف على الأعداد الأولية والمركبة وكيف نميز بينهما.

ما هي الأعداد الأولية؟

العدد الأولي هو عدد طبيعي أكبر من 1 ويقبل القسمة فقط على 1 وعلى نفسه. بمعنى آخر، له قاسمان فقط (عاملان) هما 1 والعدد نفسه. أمثلة على الأعداد الأولية: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47… العدد 2 هو العدد الأولي الزوجي الوحيد (جميع الأعداد الأولية الأخرى فردية). الأعداد الأولية تسمى لبنات بناء الأعداد لأن كل عدد مركب يمكن كتابته كحاصل ضرب أعداد أولية.

ما هي الأعداد المركبة؟

العدد المركب هو عدد طبيعي أكبر من 1 وله قواسم (عوامل) أخرى غير 1 ونفسه. بمعنى آخر، يمكن تحليله إلى حاصل ضرب عددين أصغر منه. أمثلة على الأعداد المركبة: 4 (=2×2), 6 (=2×3), 8 (=2×4), 9 (=3×3), 10 (=2×5), 12 (=2×6 أو 3×4), 14 (=2×7), 15 (=3×5), 16 (=2×8 أو 4×4). كل عدد مركب يمكن كتابته بطريقة وحيدة كحاصل ضرب أعداد أولية (هذا ما يسمى التحليل إلى العوامل الأولية).

كيف نميز بين الأعداد الأولية والمركبة؟

طريقة بسيطة لمعرفة إذا كان عدد ما أولياً أم مركباً: نجرب قسمته على الأعداد الأولية الصغيرة (2, 3, 5, 7). إذا كان يقبل القسمة على أي منها فهو مركب. إذا لم يقبل القسمة على أي منها، فهو أولي (أو قد يكون أولياً). مثال: هل 51 أولي أم مركب؟ نجرب: 51 ÷ 3 = 17، إذن 51 = 3 × 17، فهو مركب. أما 53: لا يقبل القسمة على 2 ولا 3 ولا 5 ولا 7، إذن 53 هو عدد أولي. هناك جداول الأعداد الأولية حتى 100 تسهل علينا التعرف عليها.

جدول الأعداد الأولية حتى 100

الأعداد الأولية الأصغر من 100 هي: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. هناك 25 عدداً أولياً أصغر من 100. يمكنك حفظ هذه الأعداد أو استخدام طريقة الغربال (غربال إراتوستينس) لاكتشافها. الأعداد الأولية موزعة بشكل غير منتظم، وكلما كبرت الأعداد، قلّت الأعداد الأولية (لكن توجد دائماً أعداد أولية جديدة).

أهمية الأعداد الأولية

الأعداد الأولية مهمة في الرياضيات وفي الحياة العملية: أساس نظرية الأعداد وفروع الرياضيات الأخرى، تستخدم في التشفير لحماية البيانات والمعاملات البنكية على الإنترنت (تشفير RSA الشهير يعتمد على ضرب عددين أوليين كبيرين جداً)، تستخدم في مولدات الأعداد العشوائية في الحواسيب، في تصميم خوارزميات البحث وجداول التجزئة. كلما كان العدد الأولي أكبر، كان التشفير أقوى. الأعداد الأولية الكبيرة (ذات مئات الأرقام) تستخدم في تأمين الاتصالات.

للمزيد من الدروس، راجع درس الهندسة: المضلعات المنتظمة ودرس الكهرباء: الدائرة الكهربائية.